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Mit Hilfe dieser Beziehung kannst du ohne Taschenrechner zu jedem Winkel den Sinus aus dem Kosinus oder den Kosinus aus dem Sinus bestimmen. Wenn sin(α)= 0.6 sin α = 0.6 , dann cos(α)= 0.8 cos α = 0.8 . Du stellst sin2(α)+cos2(α)= 1 sin 2 α + cos 2 α = 1 nach cos cos α um: cos2(α)= 1 − sin2(α) cos 2 α = 1 - sin 2 α Also:
- Winkel
- Trigonometrische Funktionen
- Trigonometrischer Pythagoras
- Periodizität
- Verschiebungen
- Flächeninhalt
- Höhen
- Seitenhalbierende
- Winkelhalbierende
- Additionstheoreme
In diesem Artikel werden die griechischen Buchstaben Alpha (α), Beta (β), Gamma (γ) und Theta (θ) verwendet, um Winkel darzustellen. Verschiedene Maßeinheiten für Winkel werden benutzt, die bekanntesten sind Grad (°), Bogenmaß (rad), und Gon(gon). 1 Vollkreis = 360 Grad = 2π rad = 400 gon Die folgende Tabelle zeigt die Umrechnung der wichtigsten Wi...
Der Tangensist die dritte wichtige trigonometrische Funktion. Er kann als Funktion des Sinus und Cosinus geschrieben werden: Die Funktionen Sekans (sec), Cosekans (csc) und Cotangens (cot) sind die Kehrwerte der Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktion. Sie sind wie folgt definiert:
Die grundlegende Beziehung zwischen Sinus und Cosinus wird als trigonometrischer Pythagorasbezeichnet. Es ist eine der wichtigsten trigonometrischen Identitäten: entspricht dabei oder . Der trigonometrische Pythagoras leitet sich von Satz des Pythagorasab, der lautet: Wobei c die Länge der Seite gegenüber dem rechten Winkel in einem rechtwinkeligen...
p ist dabei die Periode. Diese Eigenschaft lässt sich auch gut mit dem Graphen einer trigonometrischen Funktion veranschaulichen. Beim Sinus (siehe Graph rechts) beispielsweise kann man sehen, dass eine Periode aus einem kompletten Hügel oberhalb und einem unterhalb der x-Achse besteht. Danach wiederholt sich dieses Muster. Beim Sinus richtet sich ...
Sinus und Cosinus lassen sich so nach links oder rechts verschieben, dass beide Funktionen deckungsgleich werden. Dies trifft auch noch auf weitere trigonometrische Funktionen zu:
Für die Berechnung des Flächeninhalts eines Dreiecks gibt es viele Formeln, einige von ihnen sind hunderte von Jahren alt. Die Symbole in den Formeln entsprechen den Längen, wie sie im Dreieck rechts eingezeichnet sind. Die Funktion A berechnet den Flächeninhalt (vom englischen Wort Area = Fläche). Einige Bücher werden ein kleines Dreieck in den In...
Da ein Dreieck drei Ecken hat, gibt es insgesamt drei Höhen. Fällt man das Lot von einer Ecke auf die gegenüberliegende Dreiecksseite, so schneidet dieses Lot die Seite. Diese Strecke nennt man Höhe. Die Höhen werden mit einem kleinen h abgekürzt, wobei der Buchstabe der gegenüberliegenden Dreiecksseite in den Index des hgeschrieben wird (siehe Dia...
Die Strecke zwischen einer Ecke eines Dreiecks zu dem Punkt der die gegenüberliegende Seite in genau zwei gleichlange Strecken teilt, heißt Seitenhalbierende. Jedes Dreieck hat genau drei Seitenhalbierende: eine die von jeder Ecke zu der jeweils gegenüberliegenden Seite verläuft. Der Punkt, in dem sich alle drei Seitenhalbierenden schneiden, wird S...
Eine Winkelhalbierende teilt einen Winkel in zwei Winkel mit gleicher Größe. Jeder Winkel hat nur eine Winkelhalbierende, demnach hat das Dreieck drei Winkelhalbierende. Die Entfernung jedes Punktes auf der Winkelhalbierenden von einer der Seiten des Winkels ist gleich. Die Berechnung der Winkelhalbierenden lässt sich wie folgt durchführen (A ist d...
Diese Additionstheoreme wurden im 10. Jahrhundert von dem persischen Mathematiker Abū al-Wafā' Būzjānī aufgestellt. Eine Möglichkeit, sie zu beweisen, ist durch Anwendung der eulerschen Formel: Das Plus-Minus-Zeichen (±) und das Minus-Plus-Zeichen (∓) bedeuten, dass, wenn auf der einen Seite des Gleichheitszeichens ein Plus verwendet wird, auf der ...
Durch Erweiterung mit bzw. 1 sin x sin y {\displaystyle \textstyle {1 \over \sin x\sin y}} und Vereinfachung des Doppelbruchs: tan ( x ± y ) = sin ( x ± y ) cos ( x ± y ) = tan x ± tan y 1 ∓ tan x tan y {\displaystyle \tan(x\pm y)={\frac {\sin(x\pm y)}{\cos(x\pm y)}}={\frac {\tan x\pm \tan y}{1 ...
Cosinus: Tangens: sin(180°+α)=-sin(α) cos(180°+α)=-cos(α) tan(180°+α)=tan(α) sin(180°-α)=sin(α) cos(180°-α)=-cos(α) tan(180°-α)=-tan(α) sin(360°-α)=-sin(α) cos(360°-α)=cos(α) tan(360°-α)=-tan(α)
Tangens als tan(α) = sin(α)/cos(α) Der Tangens lässt sich über das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete ausdrücken, aber auch über ein Verhältnis von Sinus zu Kosinus, wie wir im Folgenden zeigen werden.
Durch Ersetzung von durch ergibt sich: e − i x = cos x − i ⋅ sin x {\displaystyle \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} x}=\cos x-\mathrm {i} \cdot \sin x} Diese und die vorangegangenen Gleichungen lassen sich nach den trigonometrischen Funktionen auflösen.
Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben das Verhältnis von Seitenlängen in einem rechtwinkligen Dreieck in Abhängigkeit von einem der spitzen Winkel. Sie sind folgendermaßen definiert. \sin (\alpha )=\frac {\text {Gegenkathete}} {\text {Hypotenuse}} sin(α) = HypotenuseGegenkathete.
