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Bildung der Divergenz des Gradienten eines Skalarfeldes Φ(x1,x2,x3) . div gradΦ = ∇·∇Φ = Φ heißt Laplace-Operator und kommt in zahlreichen Gleichungen der Physik vor, etwa der Wellengleichung. Im R3 mit kartesischen Koordi-naten gilt Φ(x1,x2,x3) = ∂ 2 ∂x2 1 + ∂2 ∂x2 2 + ∂2 ∂x2 3, also = ∂2 ∂x2 1 + ∂2 ∂x2 2 + ∂2 ...
Die Begriffe Gradient, Divergenz und Rotation erfordern die partiellen Ableitung aus Abschnitt 1.1.1 sowie das Konzept des Differentialoperators. Außerdem muß man zwischen skalaren und Vektorfunktionen unterscheiden. 1.4.1 Skalare Funktion.
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Die Divergenz ist ein Maß für die Quellendichte eines Vektorfeldes. Die Rotation. Gegeben sei das Vektorfeld H x,y,z . Die Rotation von H , geschrieben rot H oder ∇× H ist in kartesischen Koordinaten definiert durch: rot H ⃗ = ∇× H ⃗ = x ∂ x ⃗e +.
1.3.4 Gradient, Divergenz, Rotation 14.11.2016 Aus den partiellen Ableitungen des skalaren Feldes '(~r )nachdeneinzelnenKomponenten des Ortsvektors kann man ein Vektorfeld konstruieren, das sog.Gradientenfeld bzw. den Gradienten von ', grad'(~r ) ⌘ @'(~ r ) @x 1, @'(~r ) @x 2, @'(~r ) @x 3 T = X3 j=1 @'(~r ) @x j ~ e j. (1.78)
- Gradient
- Divergenz
- Rotation
g r a d ( f + g ) ≡ i → ∂ ( f + g ) ∂ x + j → ∂ ( f + g ) ∂ y + k → ∂ ( f + g ) ∂ z = i → ∂ f ∂ x + j → ∂ f ∂ y + k → ∂ f ∂ z + i → ∂ g ∂ x + j → ∂ g ∂ y + k → ∂ g ∂ z = g r a d ( f ) + g r a d ( g ) ∇ ( f + g ) = ∇ f + ∇ g {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {grad} (f+g)&\equiv {\vec {i}}{\frac {\partial (f+g)}{\partial x}}+{\vec {j}}{\frac {\p...
d i v ( v → + w → ) ≡ ∂ ( v → + w → ) x ∂ x + ∂ ( v → + w → ) y ∂ y + ∂ ( v → + w → ) z ∂ z = ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z + ∂ w x ∂ x + ∂ w y ∂ y + ∂ w z ∂ z = d i v v → + d i v w → ∇ ( v → + w → ) = ∇ v → + ∇ w → {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {div} ({\vec {v}}+{\vec {w}})&\equiv {\frac {\partial ({\vec {v}}+{\vec {w}})_{x}}{\partial...
r o t ( v → + w → ) = | i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z ( v → + w → ) x ( v → + w → ) y ( v → + w → ) z | = | i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z v x v y v z | + | i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z w x w y w z | = r o t v → + r o t w → ∇ × ( v → + w → ) = ∇ × v → + ∇ × w → {\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {rot} ({\vec {v}}+{\vec {w}})&=\left|{\begin{arra...
Wir werden zeigen, dass folgende Aussagen äquivalent sind: ist wegunabhängig. Linienintegral entlang beliegigem geschlossenem Weg verschwindet. ist ein Gradientenfeld. Begründung für (c.5): Betrachte zwei Wege von. Zweiter Weg, rückwärts: nach. Linienintegral:
Verwandte Differentialoperatoren liefern die Rotation eines Vektorfeldes und den Gradienten eines Skalarfeldes. Das mathematische Gebiet ist die Vektoranalysis . In der Physik wird die Divergenz zum Beispiel bei der Formulierung der Maxwell-Gleichungen oder der verschiedenen Kontinuitätsgleichungen verwendet.
