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In diesem Artikel betrachten wir die Kugelkoordinaten und deren Transformation mit kartesischen Koordinaten genauer. Dazu zählen auch die Transformationen der Differentiale, des Flächen-, Volumen– und Linienelements sowie die Transformation der Basisvektoren, des Nabla– und des Laplaceoperators.
- Übliche Konvention
- Anwendungen
- Andere Konventionen
- Koordinatenlinien und Koordinatenflächen
- Transformation Von Differentialen
- Transformation Von Vektorfeldern und -Operatoren
- Verallgemeinerung auf n-dimensionale Kugelkoordinaten
- Literatur
- Einzelnachweise
Definition
Ein Kugelkoordinatensystem im dreidimensionaleneuklidischen Raum wird festgelegt durch die Wahl 1. eines Zentrums O {\displaystyle O} (Ursprung), 2. einer gerichteten Geradedurch das Zentrum (Polachse), die die Polrichtung (oder Zenitrichtung) angibt, und durch diese festgelegt die Äquatorebene, die orthogonal zur Polrichtung durch das Zentrum verläuft, und 3. einer Bezugsrichtung in der Äquatorebene. Oft wird gleichzeitig ein kartesisches Koordinatensystem verwendet. Dann wird typischerweise...
Umrechnungen
Jedem Koordinatentripel ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} wird ein Punkt im dreidimensionalen euklidischen Raum zugeordnet (Parametrisierung). Wählt man ein kartesisches Koordinatensystem wie oben, so kann die Zuordnung durch die folgenden Gleichungenbeschrieben werden: 1. x = r ⋅ sin θ ⋅ cos φ y = r ⋅ sin θ ⋅ sin φ z = r ⋅ cos θ {\displaystyle {\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \cos...
Kugelkoordinaten werden oft bei der Untersuchung von Systemen verwendet, die rotationssymmetrisch bezüglich eines Punktes sind. Beispiele sind: Volumenintegrale über Kugeln, die Beschreibung und Untersuchung rotationssymmetrischer Kraftfelder, wie z. B. das Gravitationsfeld eines kugelförmigen Himmelskörpers, das elektrische Feld einer Punktladung ...
Die obige Koordinatenwahl ist internationaler Konsens in der theoretischen Physik. Manchmal werden die Zeichen θ {\displaystyle \theta } und φ {\displaystyle \varphi } aber im umgekehrten Sinne verwendet, insbesondere in der amerikanischen Literatur. Der Polarwinkel θ {\displaystyle \theta } ist nicht die geographische Breite, sondern lässt sich mi...
Aus der Koordinatentransformation als Vektorgleichung mit dem Ortsvektor r → {\displaystyle {\vec {r}}} 1. r → = ( x y z ) = ( r sin θ cos φ r sin θ sin φ r cos θ ) {\displaystyle {\vec {r}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\sin \theta \cos \varphi \\r\sin \theta \sin \varphi \\r\cos \theta \end{pmatrix}}} ergeben si...
Jacobi-Matrix
Die lokalen Eigenschaften der Koordinatentransformation werden durch die Jacobi-Matrixbeschrieben. Für die Transformation von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten lautet diese 1. J = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , φ ) = ( sin θ cos φ r cos θ cos φ − r sin θ sin φ sin θ sin φ r cos θ sin φ r sin θ cos φ cos θ − r sin θ 0 ) . {\displaystyle J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \var...
Differentiale, Volumenelement, Flächenelement, Linienelement
Die Jacobi-Matrix erlaubt es, die Umrechnung von Differentialenübersichtlich als lineare Abbildung zu schreiben: 1. ( d x d y d z ) = J ⋅ ( d r d θ d φ ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}=J\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {d} r\\\mathrm {d} \theta \\\mathrm {d} \varphi \end{pmatrix}}} beziehungsweise 1. ( d r d θ d φ ) = J − 1 ⋅ ( d x d y d z ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}\mathrm {d} r\\\mathrm {d} \theta \\\mathrm {d} \varphi \end{pmatri...
Metrik und Rotationsmatrix
Im Fehlen gemischter Glieder im Linienelement d s {\displaystyle \mathrm {d} s} spiegelt sich wider, dass der metrische Tensor 1. g = J T J = ( 1 0 0 0 r 2 0 0 0 r 2 sin 2 θ ) {\displaystyle g=J^{T}J={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}} auch in Kugelkoordinaten keine Außerdiagonalelemente hat. Der metrische Tensor ist offensichtlich das Quadrat der Diagonalmatrix 1. h = diag ( 1 , r , r sin θ ) {\displaystyle h=\operatorname {diag} (1,r,r\sin \theta...
Im Folgenden soll die Transformation von Vektoren und Differentialoperatoren exemplarisch dargestellt werden. Die Ergebnisse werden bevorzugt in kompakter Form unter Benutzung von Transformationsmatrizen geschrieben. Die allermeisten Aussagen und Formeln gelten nur für Punkte außerhalb der z-Achse, für die die Jacobi-Determinante ungleich null ist.
Eine Verallgemeinerung der Kugelkoordinaten auf n {\displaystyle n} Dimensionen: 1. x 1 = r cos ( ϕ 1 ) x 2 = r sin ( ϕ 1 ) cos ( ϕ 2 ) x 3 = r sin ( ϕ 1 ) sin ( ϕ 2 ) cos ( ϕ 3 ) ⋮ x n − 1 = r sin ( ϕ 1 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) cos ( ϕ n − 1 ) x n = r sin ( ϕ 1 ) ⋯ sin ( ϕ n − 2 ) sin ( ϕ n − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}x...
W. Werner: Vektoren und Tensoren als universelle Sprache in Physik und Technik. Band1. Springer Vieweg, ISBN 978-3-658-25271-7.
F. W. Schäfke: Einführung in die Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik. Springer, 1963, ISBN 978-3-642-94867-1, Seite 129.a b Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 3: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung. 4. verbesserte...a b Zylinder- und Kugelkoordinaten. (Memento vom 17. Dezember 2012 im Internet Archive). (PDF; 59 kB). Skript an der TU München.Die Umrechnung von kartesischen Koordinaten auf Kugelkoordinaten erfodert die x, y und z-Koordinaten vom Punkt und efolgt unter Verwendung von ArkusKosinus bzw. ArkusTangens und dem Satz des Pythagoras
Koordinatentransformationen können angewendet werden, wenn sich ein Problem in einem anderen Koordinatensystem leichter lösen lässt, z. B. bei der Transformation von kartesischen Koordinaten in Kugelkoordinaten oder umgekehrt.
1 Koordinatentransformationen. 1.1 Koordinatensysteme. Ein Koordinatensystem (KS) dient der eindeutigen Zuordnung von Punkten. Wir konnen dabei viele verschiedene KS unterscheiden z.B.: kartesische KS, a ne KS, polare KS, KugelKS, ellipti-sche KS, TorusKS...
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§2 Koordinatentransformationen 2.1 Allgemeine Koordinatentransformationen Man kann nicht nur Funktionen transformieren, sondern auch Ableitungen. Ange-nommen wir haben eine Koordinatentransformation ϕ: U → V und eine Funktion f: V → R. Zu dieser betrachten wir die transformierte Funktion fe:= f ϕ: U→ V.
Kugelkoordinaten: die x x -Achse zeigt in 0°-, die y y -Achse in 90°-Richtung, die z z -Achse steht im rechten Winkel zu den beiden anderen Achsen. Die Abbildung zeigt einen Punkt P mit den kartesischen Koordinaten (x,\, y,\, z) (x, y, z) und den Kugelkoordinaten (r,\, \theta,\, \phi) (r, θ, φ):
