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Grundlagen. Stichproben und Häufigkeiten. Lageparameter. Streuungsmaße. Grafische Darstellung statistischer Daten. Theoretische Übungen, Tests und Aufgaben in den Fächern Mathematik, 8. Schulstufe. Die Zusammenstellung der Aufgaben wurde von Pädagogen vorgenommen.
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Direkte Proportionalität
Es werden in zwei Behälter - einer mit der Form eines Zylinders und der andere die eines Kegels - jeweils 0,4 Liter Wasser geschüttet und die entsprechende Füllhöhe gemessen. Dabei könnte man als Messergebnisse folgendes erhalten: Für das Volumen V und die Füllhöhe h ergibt sich der Zusammenhang: Dieser Quotient hat stets den gleichen Wert (ausgenommen für h = 0). Dieser Wert wird als Proportionalitätsfaktor bezeichnet. Allgemein lässt sich sagen, dass zwei Größen x und y zueinander proportio...
Indirekte Proportionalität
Beispiel:Für ein Sportfest sollen 2400 Flyer verteilt werden. Wie viele Flyer muss ein Schüler verteilen, wenn x Personen Flyer verteilen? Bei der indirekten Proportionalität ist das Produkt zweier Werte stets gleich. Zeichnet man den Graphen in ein Diagramm, so erhält man eine Hyperbel.
Der Funktionsbegriff
Eine eindeutige Zuordnung zweier Größen nennt man Funktion f. Kann man diese Funktion durch einen Term darstellen, so nennt man diesen Funktionsterm f(x). Werte von x, für die der Funktionswert 0 ist, heißen Nullstellen. Diese kann man berechnen, indem man die Gleichung mit 0 gleichsetzt und dann nach x auflöst.
Ungleichungen
Eine Ungleichung entsteht, wenn zwei (oder mehr) Terme durch ein Ungleichheitszeichen miteinander verbunden sind. Bei folgenden äquivalenten Umformungen bleibt die Lösungsmenge gleich: 1. Addition bzw. Subtratkion desselben Terms auf beiden Seiten 2. Multiplikation bzw. Division desselben positiven Terms 3. Multiplikation bzw. Division desselben negativen Terms bei gleichzeitiger Vertauschung des Ungleichheitszeichen
Zum Finden des Schnittpunkts von zwei Geraden gibt es verschiedene Möglichkeiten, die im Folgenden erklärt werden.
Das Zufallsexperiment
Unter dem Begriff Experiment versteht man Vorgänge, die man unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholen kann. Dabei kann man zwischen zwei Arten unterscheiden: 1. Deterministische Experimente(lat. determinare = bestimmen): Das Ergebnis kann in eindeutiger Weise vorhergesagt werden, wie z.B. die Fallgeschwindigkeit aus einer bestimmten Höhe. 2. Zufallsexperimente:Das Ergebnis eines Versuchs ist nicht eindeutig vorhersehbar; der Zufall spielt eine Rolle; z.B. das Werfen einer Münze. Die...
Das Ereignis
Eine Münze wird dreimal geworfen. Dabei können verschiedene Ereignisse eintreten: 1. Die Beschreibung „beim ersten Wurf Kopf“ passt auf die Ereignisse KKK, KZK, KKZ, KZZ. Man sagt, das Ereignis A: „beim ersten Wurf Kopf“ ist eingetreten und schreibt A = {KKK, ..., KZZ}. Diese Ergebnisse nennt man günstige Ergebnisse. 2. Die Ergebnisse ZZZ, ZKK, ZKZ, ZZK sind bei diesem Ereignis nicht eingetreten und man schreibt = {...} (gesprochen: A quer). Es ist das Gegenereignis. 3. „Niemals Zahl“ enthält...
Das Zählprinzip
Möchte man n Dinge anordnen, so gibt es Möglichkeiten. Außerdem gilt 0! = 1! = 1.
Ähnlichkeit
Gegeben sind die Dreiecke ABC mit A(0/0), B(4/0), C(0/3) und AB′C′ mit B′(6/0) und C′(0/4,5). Vergleicht man Streckenlängen miteinander kann man folgendes erkennen: a′ = 7,5 cm ; a = 5 cm b′ = 4,5 cm ; b = 3 cm c′ = 6,0 cm ; c = 4 cm Der Quotient zweier Länge, der eien Zahl ist, heißt „Verhältnis der Längen“. Betrachtet man den/die Quotient(en), erhält man Jede Strecke vom Dreieck AB′C′ ist um den Streckfaktor k = 1,5 gegenüber dem Dreieck ABC länger. Sie sind deshalb zueinander ähnlich.
Der Vierstreckensatz oder Strahlensatz
Werden zwei Geraden, die einander im Punkt Z scheiden, von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sie sich wie folgt: 1. Je zwei Abschnitte auf der einen Geraden wie die entsprechenden Abschnitte auf der anderen. 2. Die Abschnitte auf den Parallelen wie die von Z aus gemessenen entsprechenden Abschnitte auf der einen Geraden (bzw. der anderen)
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