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Ein Körper der Masse m fällt entlang einer Kurve mit der Gleichung z = f(x) im Schwerefeld der Erde. Man bestimme (ohne Beachtung der Reibung) die Bewegungsgleichung des Körpers. Es gilt: = und wegen ˙ = =
Die Ebene hat den Neigungswinkel . Stelle mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichung die Bewegungsgleichung auf und l ose sie. L osung. Das System hat nur eine unabh angige Koordinate. Man kann z.B. die zur uckgelegte Strecke s oder den fortlaufenden Winkel ’w ahlen. Es gilt ’r= sund fuer den Vollzylinder I= mr2=2. L= 1 2 ms_2 + 1 2 I’_2 + mg ...
Die Bewegungsgleichung erhalten wir aus den Newton-Axiomen: m ir i = r iU+ Xs k=1 kr iF k;i= 1:::N (17) wobei k der sogenannte Lagrange-Multiplikator ist. Wurden die Bewegungsgleichungen aufgestellt, so muss k eliminiert werden. Beispiel: Massepunkt auf Ebene II Wir betrachten wieder das Problem von oben, nun aber wollen wir die Bewegungs-
Lagrange-Dichte. Aus der Lagrange-Dichte leitet man mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichungen die Bewegungsgleichungen fur die Felder ab.¨ In diesem Kapitel rekapitulieren wir zun¨achst den Lagrange-Formalismus f ¨ur Felder, be-vor wir ihn zur Herleitung der Bewegungsgleichungen fur die elektromagnetischen Felder,¨ der sog. Maxwell ...
Bewegungsgleichungen für komplexe Systeme einfach aufstellen. Aus dem Prinzip der virtuellen Leistung lassen sich die Lagrange-Gleichungen herleiten, mit denen sich das Auf-stellen der Bewegungsgleichungen weiter vereinfacht. Besonders einfach werden die Lagrange-Gleichungen für Systeme, bei denen alle eingeprägten Kräfte konservativ sind.
Lagrange Bewegungsgleichungen eines mathematischen Pendels auf Schiene. Notiere und berechne für das Pendel auf einer geraden Schiene in x-Richtung: a) Die Zwangsbedingungen des Systems b) Die Anzahl der Freiheitsgrade c) Die Transformationsgleichungen der generalisierten Koordinaten
Wir haben zwar bereits gesehen, dass aus den Lagrange'schen Bewegungsgleichungen die Hamilton'schen Gleichungen folgen. Wenn Lagrange 'sche und Hamilton'sche Mechanik zueinander völlig äquivalent sein sollen, dann muss sich umgekehrt aber auch aus den Hamilton'schen Gleichungen die Euler-Lagrange-Gleichung ergeben.
