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Rechner Gewöhnliche Differentialgleichungen (GDGL) und Systeme von GDGL. Der Rechner verwendet Methoden zur Lösung von: trennbaren, homogenen, linearen Differentialgleichungen erster Ordnung, Bernoullische, Riccati, exakten, inexakten, inhomogenen, mit konstanten Koeffizienten, Eulersche und Systemen - Differentialgleichungen.
Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung aus Funktion und Ableitung (en). Du hast dann deine Funktion y (t) in Abhängigkeit ihrer Ableitung (en) angegeben. Hat deine Funktion nur eine Variable t, nennst du das eine gewöhnliche Differentialgleichung. Hier hast du ein Beispiel für eine gewöhnliche Differentialgleichung (DGL) 1.
Eine Differentialgleichung (kurz Diff.’gleichung oder DGL) ist eine Gleichung, in der eine Funktion und auch Ableitungen von dieser Funktion auftauchen können. Die Lösung dieser Art von Gleichung ist eine Funktion – keine Zahl!
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Kostenlos Rechner für gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) - löse gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) Schritt für Schritt
- Übersicht
- Gleichungen erster Ordnung
- Gleichungen zweiter Ordnung
Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Funktion mit einer oder mehreren ihrer Ableitungen verbindet. In den meisten Anwendungsbereichen stehen die Funktionen für physikalische Größen, die Ableitungen stehen für die Änderungsraten und die Gleichung definiert das Verhältnis zwischen den beiden.
In diesem Artikel werden die Methoden gezeigt, die erforderlich sind, um bestimmte Arten von gewöhnlichen Differentialgleichungen zu lösen, deren Lösungen als
aufgeschrieben werden können – Polynome, Exponenten, Logarithmen und trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrungen. Vielen dieser Gleichungen begegnet man im täglichen Leben, die meisten anderen können aber nicht mithilfe dieser Methoden gelöst werden, sodass die Lösung in Form von speziellen Funktionen oder Potenzreihen aufgeschrieben oder numerisch berechnet werden muss.
Dieser Artikel basiert auf der Annahme, dass du als Leser ein gutes Verständnis von Differential- und Integralrechnung hast sowie Kenntnisse zu partiellen Ableitungen. Es ist außerdem für die Theorie hinter Differentialgleichungen zu empfehlen, dass du Kenntnisse zu linearer Algebra hast, besonders beim Abschnitt über Differentialgleichungen zweiter Ordnung, auch wenn sie zu lösen eigentlich nur Fähigkeiten in Infinitesimalrechnung erfordert.
In diesem Abschnitt besprechen wir die Methoden zur Lösung linearer Differentialgleichungen erster Ordnung, sowohl im Allgemeinen als auch in speziellen Fällen, wo bestimmte Terme auf Null gesetzt werden. Lassen wir und Funktionen von sein.
Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung besagt, dass das Integral der Ableitung einer Funktion die Funktion selber ist. Wir können einfach integrieren, um das Ergebnis zu erhalten. Denke daran, dass ein unbestimmtes Integral auszuwerten eine arbiträre Konstante hervorbringt.
Wir wenden die Methode der
an. Bei der Trennung von Variablen wird jede Variable auf intuitive Weise auf unterschiedliche Seiten der Gleichung gebracht. Zum Beispiel bewegen wir alle -Terme auf eine Seite und die -Terme auf die andere. Wir können und in der Ableitung als Größen behandeln, die bewegt werden können, behalte aber im Hinterkopf, dass das einfach eine Abkürzung für eine Umformung ist, bei der die Kettenregel genutzt wird. Die genaue Beschaffenheit dieser Objekte, die als
Homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.
Diese Gleichungen gehören zu denen, die es wichtig ist lösen können, aufgrund ihrer weiterverbreiteten Anwendbarkeit. Hier bezieht sich homogen nicht auf homogene Funktionen, sondern auf die Tatsache, dass die Gleichung auf 0 gestellt ist. Im nächsten Abschnitt werden wir sehen, wie man entsprechende
Differentialgleichungen lösen kann. In diesem Beispiel und Konstanten.
Diese Differentialgleichung ist beachtenswert, weil wir sie sehr einfach lösen können, wenn wir ein paar Beobachtungen dazu anstellen, welche Eigenschaften ihre Lösungen haben müssen. Diese Gleichung sagt uns, dass und seine Ableitungen alle proportional zueinander sind. Von den vorherigen Beispielen mit Gleichungen erster Ordnung wissen wir, dass nur die Exponentialfunktion diese Eigenschaft hat. Daher werden wir einen
aufstellen – eine auf Sachkenntnis beruhende Vermutung – was die Lösung sein könnte.
Dieser Ansatz ist die Exponentialfunktion
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Eine Differentialgleichung (auch Differenzialgleichung, oft durch DGL, DG, DGl. oder Dgl. abgekürzt) ist eine mathematische Gleichung für eine gesuchte Funktion von einer oder mehreren Variablen, in der auch Ableitungen dieser Funktion vorkommen. Viele Naturgesetze können mittels Differentialgleichungen formuliert werden.
