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Das Heron-Verfahren, Heronsche Näherungsverfahren oder babylonische Wurzelziehen ist ein Rechenverfahren zur Berechnung einer Näherung der Quadratwurzel einer reellen Zahl >. Hierbei wird die Zahl als Flächeninhalt eines Rechtecks aufgefasst (z. B. mit Seitenlängen und ).
Das Heron-Verfahren (auch bekannt als Babylonisches Wurzelziehen) ist ein iteratives Verfahren zur näherungsweisen Bestimmung der Quadratwurzel einer Zahl. Die Iterationsvorschrift lautet: x_ {n+1}= \dfrac 1 2 \cdot \left (x_n + \dfrac {q} {x_n}\right) xn+1 = 21 ⋅ (xn + xnq). (1)
Wozu dient das Heron-Verfahren? Mit dem Heron-Verfahren kannst du die Quadratwurzel einer Zahl näherungsweise bestimmen ohne einen Taschenrechner zu benutzen. Dies bezieht sich natürlich nur auf Quadratwurzeln, die keine ganze Zahl ergeben. HERONVERFAHRENNICHTANWENDEN: 4–√ = 2 , 16−−√ = 4 , 25−−√ = 5 ...
Das Heron-Verfahren beruht auf einem geometrischem Ansatz. Wir wissen, dass die Seiten eines Quadrates gleichlang sind. Der Flächeninhalt A lässt sich bei diesem Quadrat mit A = a·a bestimmen. Die Wurzel des Flächeninhaltes ist somit gleich einer Seitenlänge a . ( A = a², daraus folgt a = √A ).
Der rekursive Heron-Algorithmus für die Quadratwurzel x→ (x+a/x)/2 ist äquivalent zum Newtonalgorithmus x→x-f (x)/f' (x) zur Bestimmung der Nullstellen für die Funktion f (x)=x²-a. Diese Nullstellen sind natürlich → ± 2 √a. Mit der Ableitung f' (x)=2x erhält man x → x - f (x)/f' (x) = x - (x²-a)/ (2x) = (x + a/x)/2.
Der Heron-Algorithmus ist ein Verfahren, mit dem sich √a, also die Wurzel von a für a∈Q +, mit zunehmender Genauigkeit bestimmen lässt. Man startet am besten mit einer Zahl x 1 , deren Quadrat in etwa a entspricht.
Das Heron-Verfahren nähert das Quadrat an durch ein flächengleiches Rechteck, gleicht bei jedem Schritt die Kantenlängen des Rechtecks einander an, ohne die Fläche zu verändern, so dass das Rechteck immer mehr zu einem Quadrat wird und seine Kantenlängen der gesuchten Wurzel immer näher kommen.
