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typische Art der Pivotsuche, etwa beim Gauß-Verfahren. Dort muß im k -ten Schritt aus der ( k + 1)-ten Spalte einer Matrix A ein Element αp,k+1 ≠ 0, p ≥ k + 1, gewählt werden. Bei der Spaltenpivotsuche trifft man die Wahl \begin {eqnarray}| {a}_ {p,k+1}|=\mathop {\max}\limits_ {t\ge k+1}| {a}_ {i,k+1}|,\end {eqnarray} man wählt also ...
Bei der Gauß-Elimination mit Spaltenpivotsuche wird eine reguläre Matrix in Schritten abwechselnd von links mit Vertauschungs-und Gauß-Matrizen multipliziert und so in eine obere Dreiecksmatrix überführt.
Pivotverfahren sind Algorithmen der mathematischen Optimierung, insbesondere der linearen Optimierung. Für ein vorgegebenes System linearer Gleichungen in nichtnegativen Variablen wird nach der bestmöglichen von vielen Alternativlösungen gesucht und auf dieser Suche das Gleichungssystem Schritt für Schritt umgewandelt, ohne dabei ...
- Roland Pulch
- A + B A + B
- 4 Klassische Iterationsverfahren
- Ausblick:
- Definition des Verfahrens der konjugierten Gradienten
- Eigenschaften des CG-Verfahrens
- Vorkonditionierungstechnik
- K ⊆ K ⊆ K ⊆ · · · ⊆ K
- Vorkonditionierung
- Vorteile von GMRES:
- Nachteile von GMRES:
Institut f ̈ur Mathematik und Informatik Mathematisch-Naturwissenschaftliche Fakult ̈at Universit ̈at Greifswald
∥ ∥ ≤ ∥ ∥ ∥ ∥ λ ∈ R (Dreiecksungleichung) (iv) submultiplikativ:
Im folgenden werden g ̈angige station ̈are Iterationsverfahren vorgestellt. Sie entstehen durch die Zerlegung der Gestalt
Es gibt neben den station ̈aren Verfahren noch weitere fortgeschrittene Ite-rationsmethoden f ̈ur große lineare Gleichungssysteme. Verfahren der Konjugierten Gradienten (CG-Verfahren) nur f ̈ur symmetrische positiv definite Matrizen; basiert auf sukzessi-ver Minimierung des Fehlers entlang von eindimensionalen Suchrich-tungen; Verallgemeinerungen a...
Das Iterationsverfahren der konjugierten Gradienten (engl. conjugate gra-dient (CG) method) wird wie folgt rekursiv definiert.
Wir definieren zun ̈achst den folgenden Begriff. n n Def.: Sei A R × symmetrisch und positiv definit. Zwei Richtungen p, q ∈ heißen A-konjugiert, wenn p, qA := p⊤Aq = 0 gilt. ⟨ ⟩ Sind zwei Richtungen A-konjugiert, so bedeutet dies, dass sie orthogonal bez ̈uglich des von A induzierten Skalarprodukts sind.
Ein Konvergenzbeschleunigung soll nun erhalten werden, indem statt des urspr ̈unglichen Gleichungssystems ein ̈aquivalentes Gleichungssystem mit einer Matrix von deutlich niedrigerer Konditionszahl iterativ gel ̈ost wird. Als Ansatz wird Ax = b ersetzt durch
Bez ̈uglich der L ̈osung des linearen Gleichungssystems besitzen die Krylov-R ̈aume eine g ̈unstige Eigenschaft.
Eine Vorkonditionierung des linearen Gleichungssystems Ax = b erbringt h ̈aufig eine Konvergenzbeschleunigung im GMRES-Verfahren. Dazu wird das ̈aquivalente Gleichungssystem
• Anwendbar bei jedem linearen Gleichungssystem mit regul ̈arer Matrix.
Rechenaufwand im k-ten Schritt ist proportional zu k. F ̈ ur m Schritte dominiert der Term m2n falls m hoch. Speicherbedarf im k-ten Schritt ist kn f ̈ur die Orthonormalbasis. Es existiert keine Absch ̈atzung f ̈ur den Fehler der N ̈aherungen. Eine Absch ̈atzung liegt f ̈ur das Residuum vor, welche aber in der Praxis nicht auswertbar ist.
3.3.3. Spaltenpivotsuche: Durchsuche nur die Spalte von a kk bis a nk nach betragsgrößtem Element a jk und vertausche dann die gefundene Zeile j mit der k-ten Zeile. Der Zusatzaufwand ist gering, da nur jeweils eine Spalte durchsucht werden muss, und zwei Zeilen (Gleichungen) vertauscht werden müssen.
Wir erhalten die folgende Implementierung des Gauß-Verfahrens mit Spaltenpivotsuche: Algorithmus 1 Gaußsches Eliminationsverfahren mit Spaltenpivotsuche Setze (A(1),b(1)) = (A,b) und L(1) = 0 ∈ Rn,n. Fur¨ k = 1,2,...,n− 1: 1. Spaltenpivotsuche: Bestimme k ≤ r ≤ n mit |a(k) rk | = max k≤i≤n |a(k) ik |.
Dieses Vorgehen heißt Spaltenpivotsuche oder partielle Pivotisierung. TUHH Jens-Peter M. Zemke Numerische Verfahren Lineare Systeme 13 / 76 Lineare Systeme Zerlegung regulärer Matrizen
