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In der abstrakten Algebra bezeichnet man als Körpererweiterung ein Paar und , geschrieben als / oder , seltener als : oder (,), wobei ein Unterkörper eines Oberkörpers ist, also eine Teilmenge , die 0 und 1 enthält und mit den auf eingeschränkten Verknüpfungen selbst ein Körper ist.
Diese Symmetrien können grundsätzlich durch Gruppen von Permutationen, also Untergruppen der symmetrischen Gruppe, beschrieben werden. Évariste Galois entdeckte, dass diese Symmetrien Aussagen über die Lösbarkeit der Gleichung erlauben. In moderner Sicht werden Körpererweiterungen mit Hilfe ihrer Galoisgruppe untersucht.
Die Körpererweiterung heißt hier Galoiserweiterung, wenn sie normal und separabel ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn gilt, wenn also die Galoisgruppe außer dem Grundkörper keine weiteren Elemente von fixiert. Da in allen Fällen gilt, ist die Erweiterung genau dann galoissch, wenn ist.
29. März 2019 · Sei L/K eine endliche Körpererweiterung und M ein Zwischenkörper von L/K. Wenn L/K galoissch ist, so ist auch L/M galoissch. Ist L/K eine endliche Körpererweiterung, so gilt \(\left| {\mathrm{{Aut}}(L/K)}\right| \le [L:K]\). Beweis. Sei \(K' := L^G\) der Fixkörper von G. Nach Definition gilt dann \(K \subset K'\) und nach dem ...
- Florian Modler, Martin Kreh
- 2016
Dabei beantwortet der Hauptsatz der Galois-Theorie ganz konkret die Frage, welche als Zwischenkörper bezeichnete Körper zwischen einem Grundkörper K und einem endlichen Erweiterungskörper L liegen, sofern bestimmte Voraussetzungen erfüllt sind.
8.1 Definitionen. Definition 8.1 (Galoiserweiterung und Galoisgruppe) Sei L/K eine endliche Körpererweiterung. Dann heißt L/K galois, wenn gilt. | = [L : K]. In diesem Fall nennt man die Automorphismengruppe von L/K die Galois-gruppe von L/K und man schreibt. Gal(L/K) := Aut(L/K). Definition 8.2 (normale Körpererweiterung)
10. Dez. 2015 · Zusammenfassung. Nun wollen wir die bereits angesprochene Verbindung zwischen Untergruppen und Körpererweiterungen vollständig kennenlernen und untersuchen. Dabei werden wir vor allem den wichtigen Begriff der Galoiserweiterung brauchen. Dies sind gerade diejenigen Erweiterungen, die sowohl normal als auch separabel sind.
