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2.1 Hauptsatz der Galoistheorie. 2.2 Bestimmung der Galoisgruppe als Automorphismengruppe. 2.3 Bestimmung der Galoisgruppe durch Matrizenrechnung. 2.4 Kroneckerscher Satz. 3 Verallgemeinerungen. 4 Das Umkehrproblem der Galoistheorie. 5 Literatur. 6 Weblinks. 7 Einzelnachweise. Klassischer Ansatz.
Die Galois-Theorie beschäftigt sich mit der Frage, welche endlichen Erweiterungen eines Grundkörpers es gibt und wie sie mit den Untergruppen der Galois-Gruppe von einem Erweiterungskörper zusammenhängen. Der Hauptsatz der Galois-Theorie liefert eine Antwort auf diese Frage und ermöglicht die Beweisung von Unlösbarkeitssätzen und geometrischen Konstruktionsproblemen.
Galoistheorie – der heilige Gral der Mathematik f¨ur viele, schillernder Gipfel der Algebra, nur erreichbar durch z¨ahes Studium von mindestens drei Semestern h¨oherer Algebra und auch dann oft nur halb verstanden. F ur andere die Aus-¨ geburt an Abstraktion, Paradigma der Realit¨atsferne, der Nicht-Anwendbarkeit von Mathematik.
Es bezeichen U die Menge der Untergruppen von G. Der Hauptsatz der Galoistheorie l¨aßt sich lesen als: (i) Die Abbildung ObK → U, Z 7→G Z:= {g ∈ G | g| Z = id Z} ist bijektiv mit der Inversen H 7→LH:= {α ∈ L | ∀g ∈ G : gα = α}. (ii) Fur jedes¨ Z ∈ ObK haben wir eine kanonischen Isomorphismus G/G Z ∼= Hom K(Z,L) g ·G Z 7 ...
- Und jetzt?
- Inition 14.5
- Check It Out!
- Inition 14.6
- Inition 14.7
- MA 14.9
- Beweis
- MA 14.10
- MA 14.11
Bevor wir den Hauptsatz beweisen (das ist jetzt ohnehin nicht mehr schwierig), möchte ich etwas zu folgender Frage sagen: Warum hat der Hauptsatz den Namen Haupt-Satz verdient? Was ist so wichtig an den Zwischenkörpern? Einen Versuch einer Antwort haben wir schon gesehen: Die Etagen in den Körpertürmen, die wir betrachtet haben, sind solche Zwische...
Sei L|K eine algebraische Körpererweiterung und \(\alpha \in L \). Dann sagen wir, dass \(\alpha \) durch Radikale auflösbar ist, wenn es eine endliche Folge von Körpererweiterungen und jeweils Elemente \(\mu _j \in K_j \)gibt, so dass für ein \(m_j \in \mathbb {N}\) gilt und schließlich \(\alpha \in K_N\)gilt. Wir sagen, dass ein Polynom \(f(X) \i...
Ist das wirklich offenbar? Im Beispiel kommen Nenner vor, macht das ein Problem? Hoffentlich nicht. Warum nicht? Als Antwort auf die letzte Frage, beachten Sie, dass alle Elemente algebraisch sind und Satz 2.18gilt. Wir nutzen jetzt dann die folgende Notation:
Ist \(f(X) \in \mathbb {Q}[X] \) ein Polynom vom Grad \(n \ge 1 \) und \(Z \subset \mathbb {C}\) der Zerfällungskörper von f in \(\mathbb {C}\), dann schreiben wir und nennen diese Gruppe die Galoisgruppe von f. Wir können wir jetzt den Hauptsatz nutzen? Sei \(f(X) \in \mathbb {Q}[X] \) vom Grad n, irreduzibel und \(Z|\mathbb {Q}\) der Zerfällungsk...
Seien \(L_0 \) ein Körper und \(m \in \mathbb {N}\). Dann nennen wir eine endliche Folge von Körpererweiterungen eine m-divisible Radikalerweiterung von \(L_0 \), wenn jeweils für gewisse \(\mu _j \in L_j \) und jeweils \(m_j \mid m \)gilt.
Seien \(m \in \mathbb {N}\) sowie \(\zeta =\exp (\frac{2\pi i}{m}) \) und \(L_0=\mathbb {Q}(\zeta ) \). Ist dann eine m-divisible Radikalerweiterung von \(L_0 \), so existiert dazu auch eine m-divisible Radikalerweiterung von \(L_0 \) (mit \(M \ge N \)), so dass \(L_N \subset L'_M \) gilt und \(L'_M|\mathbb {Q}\) normal ist.
Wir beweisen die Behauptung durch Induktion nach N. Für \(N=1 \) ist nichts zu zeigen, weil dann \(L_1|\mathbb {Q}\) normal ist, da \(L_1 \) alle \(m_1 \)-ten Einheitswurzeln enthält. Die Behauptung gelte also per Induktionsannahme für alle m-divisiblen Radikalerweiterungen der Länge N. Sei dann eine m-divisible Radikalerweiterung der Länge \(N+1 \...
Enthält ein Körper L eine primitive m -te Einheitswurzel und ist \(\mu \in L \) gegeben, so ist ein injektiver Gruppenhomomorphismus. Insbesondere ist \(\mathrm {Gal}(L(\root m \of {\mu })|L) \) abelsch.
Ist \(f(X) \in \mathbb {Q}[X] \) irreduzibel vom Grad \(n \ge 1 \) und f durch Radikale auflösbar, dann gibt es eine Gruppe G, 1. die eine endliche Folge von Untergruppen$$ G \supset H_0 \supset H_1 \supset \ldots \supset H_{N-1} \supset H_N=\{ e \} \ $$besitzt, so dass \(H_0 \lhd G \) und jeweils \(H_{j+1} \lhd H_j \) gilt und die Faktorgruppen$$ ...
- Marco Hien
- marco.hien@math.uni-augsburg.de
- 2021
Ist K ein Korper und GK = Gal(K=K) seine absolute Galoisgruppe, so lasst sich der Hauptsatz der Galoistheorie ausdrucken als eine Kategorienaquivalenz. fL j L=K endlich separabelg. !fM j M endliche Menge mit transitiver GK-Wirkungg; L 7! GK=GL = HomK(L; K):
10.3 Galoiserweiterungen, der Hauptsatz. Kehren wir wieder zu der oben beschriebenen Galoisverbindung (Φ, Γ) zur ̈uck. Wir bemerken zun ̈achst, daß gilt: 10.3.1 Satz Ist L : K eine endliche K ̈orpererweiterung, dann gilt: F ̈ ur jedes U ≤ Gal(L : K) ist. = Gal(L : LU), |U| = [L : LU]. Γ Φ = idU(Gal(L:K)), Γ ist also surjektiv, und Φ ist injektiv.
