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Der Satz besagt, dass jede auf einem kompakten reellen Intervall definierte, reellwertige und stetige Funktion beschränkt ist und im Definitionsbereich ihr Maximum sowie Minimum annimmt. Er ist einer der Hauptsätze der Analysis und stellt ein wichtiges Instrument zum Beweis der Existenz von Extremwerten solcher Funktionen dar.
Wir werden sehen, dass solche Funktionen immer beschränkt sind und ihr Maximum und Minimum annehmen. Dieser Satz wird Satz vom Minimum und Maximum genannt. Er wird in der Mathematik verwendet, die Existenz von Extrema stetiger Funktionen zu beweisen.
Satz (Maximum und Minimum sind genauso groß, wie die größte, bzw. kleinste Zahl die sie enthalten.) Jede reelle Zahl, die größer ist als das Maximum zweier beliebiger reellen Zahlen und , ist auch größer als beide Zahlen.
Ist das nicht der Fall, so hörst du stattdessen die Bezeichnung lokaler Hochpunkt oder lokales Maximum. Der Zusatz „lokal“ soll dich daran erinnern, dass dieser Hochpunkt nur in einer bestimmten Umgebung „hoch“ ist. Für einen Tiefpunkt findest du die Bezeichnungen globaler Tiefpunkt (globales Minimum) und lokaler Tiefpunkt (lokales ...
Wenn wir j auf [a,b] beziehungsweise [c,d] einschränken, dann können wir den Satz vom Minimum und Maximum anwenden. Damit sind sowohl j_{1}=j|_{{[a,b]}} und j_{2}=j|_{{[c,d]}} beschränkt und nehmen ihr Maximum und Minimum an. Somit ist aber auch die gesamte Funktion j beschränkt.
In diesem Video lernst du drei Stetigkeitssätze kennen: den Zwischenwertsatz, den Nullstellensatz und den Satz vom Minimum und Maximum. Dazu wiederholen wir, was es anschaulich bedeutet, dass eine Funktion stetig ist. Anhand einer Grafik erkläre ich dir den Zwischenwertsatz und wir überlegen, ob man auf die Stetigkeit in der Voraussetzung ...
Definition 2.58 (Minimum). Wir sagen, dass x0 = min(X) das Minimum einer Teilmenge X ⊆ ℝ ist, falls x0 ∈ X und x ≥ x0 für alle x ∈ X gilt. Die obige Diskussion lässt sich auf analoge Weise für das Minimum anwenden. Dieses ist also eindeutig bestimmt, muss aber nicht unbedingt existieren.
