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Lösen Sie trennbare, homogene, lineare, exakte und inexakte Differentialgleichungen erster Ordnung mit oder ohne Anfangsbedingungen. Der Rechner zeigt Ihnen die Schritte und die Lösung in Form von Funktionen oder Gleichungen.
Mit diesem kostenlosen Online-Rechner kannst du gewöhnliche Differentialgleichungen (DGL) lösen und die Lösungen schrittweise anzeigen lassen. Geben Sie einfach die DGL ein und klicken Sie auf "Rechnen".
Lerne, was eine Differentialgleichung ist und wie du sie lösen kannst. Sieh dir Videos und Anwendungsbeispiele für DGL erster, zweiter und n-ter Ordnung an.
- Übersicht
- Gleichungen erster Ordnung
- Gleichungen zweiter Ordnung
Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Funktion mit einer oder mehreren ihrer Ableitungen verbindet. In den meisten Anwendungsbereichen stehen die Funktionen für physikalische Größen, die Ableitungen stehen für die Änderungsraten und die Gleichung definiert das Verhältnis zwischen den beiden.
In diesem Artikel werden die Methoden gezeigt, die erforderlich sind, um bestimmte Arten von gewöhnlichen Differentialgleichungen zu lösen, deren Lösungen als
aufgeschrieben werden können – Polynome, Exponenten, Logarithmen und trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrungen. Vielen dieser Gleichungen begegnet man im täglichen Leben, die meisten anderen können aber nicht mithilfe dieser Methoden gelöst werden, sodass die Lösung in Form von speziellen Funktionen oder Potenzreihen aufgeschrieben oder numerisch berechnet werden muss.
Dieser Artikel basiert auf der Annahme, dass du als Leser ein gutes Verständnis von Differential- und Integralrechnung hast sowie Kenntnisse zu partiellen Ableitungen. Es ist außerdem für die Theorie hinter Differentialgleichungen zu empfehlen, dass du Kenntnisse zu linearer Algebra hast, besonders beim Abschnitt über Differentialgleichungen zweiter Ordnung, auch wenn sie zu lösen eigentlich nur Fähigkeiten in Infinitesimalrechnung erfordert.
In diesem Abschnitt besprechen wir die Methoden zur Lösung linearer Differentialgleichungen erster Ordnung, sowohl im Allgemeinen als auch in speziellen Fällen, wo bestimmte Terme auf Null gesetzt werden. Lassen wir und Funktionen von sein.
Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung besagt, dass das Integral der Ableitung einer Funktion die Funktion selber ist. Wir können einfach integrieren, um das Ergebnis zu erhalten. Denke daran, dass ein unbestimmtes Integral auszuwerten eine arbiträre Konstante hervorbringt.
Wir wenden die Methode der
an. Bei der Trennung von Variablen wird jede Variable auf intuitive Weise auf unterschiedliche Seiten der Gleichung gebracht. Zum Beispiel bewegen wir alle -Terme auf eine Seite und die -Terme auf die andere. Wir können und in der Ableitung als Größen behandeln, die bewegt werden können, behalte aber im Hinterkopf, dass das einfach eine Abkürzung für eine Umformung ist, bei der die Kettenregel genutzt wird. Die genaue Beschaffenheit dieser Objekte, die als
Homogene lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.
Diese Gleichungen gehören zu denen, die es wichtig ist lösen können, aufgrund ihrer weiterverbreiteten Anwendbarkeit. Hier bezieht sich homogen nicht auf homogene Funktionen, sondern auf die Tatsache, dass die Gleichung auf 0 gestellt ist. Im nächsten Abschnitt werden wir sehen, wie man entsprechende
Differentialgleichungen lösen kann. In diesem Beispiel und Konstanten.
Diese Differentialgleichung ist beachtenswert, weil wir sie sehr einfach lösen können, wenn wir ein paar Beobachtungen dazu anstellen, welche Eigenschaften ihre Lösungen haben müssen. Diese Gleichung sagt uns, dass und seine Ableitungen alle proportional zueinander sind. Von den vorherigen Beispielen mit Gleichungen erster Ordnung wissen wir, dass nur die Exponentialfunktion diese Eigenschaft hat. Daher werden wir einen
aufstellen – eine auf Sachkenntnis beruhende Vermutung – was die Lösung sein könnte.
Dieser Ansatz ist die Exponentialfunktion
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Wir starten mit einem Video zur Trennung der Variablen . Danach folgt von der Variation der Konstanten und der Ansatz vom Typ der Störfunktion beziehungsweise der rechten Seite. Anschließend schauen wir uns an, wie man Bernoulli’sche DGL´s löst und was exakte Differentialgleichungen sind.
Differentialgleichungen haben als Lösung Funktionen, die Bedingungen an ihre Ableitungen erfüllen. Eine Approximation geschieht meist, indem Raum und Zeit durch ein Rechengitter in endlich viele Teile zerlegt werden (Diskretisierung). Die Ableitungen werden dann nicht mehr durch einen Grenzwert dargestellt, sondern durch ...
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