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In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man Integritätsringe als Hauptidealringe oder Hauptidealbereiche, wenn jedes Ideal ein Hauptideal ist. Die wichtigsten Beispiele für Hauptidealringe sind der Ring der ganzen Zahlen sowie Polynomringe in einer Unbestimmten über einem Körper.
Das Hauptideal ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Algebra. Es stellt eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Teilmengen der ganzen Zahlen dar, die Vielfache einer Zahl sind. Beispiele für solche Teilmengen sind die geraden Zahlen oder die Vielfachen der Zahl 3.
Wir müssen b\in (a) b ∈ (a), also b=s\cdot a b = s ⋅a für ein s\in R s ∈ R zeigen. Dazu berechnen wir die Division mit Rest von b b durch a a und erhalten s, r\in\Z s,r ∈ Z mit b=s\cdot a+r b = s⋅ a+ r ( 0\le r<a 0 ≤ r < a ).
Jeder euklidische Bereich ist ein Hauptidealbereich, denn jedes Element 0 6= i ∈ I R ist durch jedes Element 6= 0 und von kleinster Norm teilbar! Dem-nach ist beispielsweise Z und jeder Polynomring K[x] ¨uber einem K ¨orper ein Hauptidealring. Als n¨achstes wollen wir zeigen, daß in Hauptidealbereichen so etwas wie die im
Behauptung: I = hbi. Sei a ∈ I beliebig. Wir müssen zeigen, dass a ∈ hbi. Da R euklidisch ist, können wir a = qb + r für q, r ∈ Wegen r = a qb und a, b I folgt r I. − ∈ ∈ Aus N(r) < N(b) und der Minimalität von N(b) folgt r = 0. Damit gilt a = qb und daher a ∈ hbi.
Sowohl Hauptidealringe als auch euklidische Ringe sind faktorielle Ringe. Die Hauptaussagen dieses Kapitels lassen sich prägnant zusammenfassen: Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring, und jeder Hauptidealring ist ein faktorieller Ring.
Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealbereich, denn wenn ein minimal bewertetes Element eines Ideals ist, so ist = (), also ein Hauptideal. Insbesondere ist jeder euklidische Ring faktoriell.
