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Das Hauptideal ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Algebra. Es stellt eine Verallgemeinerung der aus der Schulmathematik bekannten Teilmengen der ganzen Zahlen dar, die Vielfache einer Zahl sind. Beispiele für solche Teilmengen sind die geraden Zahlen oder die Vielfachen der Zahl 3.
In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet man Integritätsringe als Hauptidealringe oder Hauptidealbereiche, wenn jedes Ideal ein Hauptideal ist. Die wichtigsten Beispiele für Hauptidealringe sind der Ring der ganzen Zahlen sowie Polynomringe in einer Unbestimmten über einem Körper.
Ideale der Form (1) heißen Hauptideale. Ringe, die nur Hauptideale besitzen, heißen Hauptidealringe. Dies sind nach Körpern die einfachsten Ringe. Beweis. ( I1 ): r\cdot a, s\cdot a\in (a)\quad\Rightarrow\quad r\cdot a+s\cdot a= (r+ s)\cdot a\in (a) r ⋅a,s⋅ a ∈ (a) ⇒ r ⋅a + s ⋅a = (r + s) ⋅a ∈ (a), ( I2 ): r\in R, s\cdot a\in ...
In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eine Teilmenge eines Rings, die das Nullelement enthält und abgeschlossen gegenüber Addition und Subtraktion von Elementen des Ideals sowie abgeschlossen gegenüber Multiplikation mit beliebigen Ringelementen ist.
Ein Ideal ist eine Untergruppe der additiven Gruppe von , die zusätzlich die zweite oben angeführte Eigenschaft erfüllt. Die einfachsten Ideale sind das Nullideal 0 {\displaystyle {}0} und das Einheitsideal R {\displaystyle {}R} .
In der abstrakten Algebra ist ein Ideal eine Teilmenge eines Rings, die das Nullelement enthält und abgeschlossen gegenüber Addition und Subtraktion von Elementen des Ideals sowie abgeschlossen gegenüber Multiplikation mit beliebigen Ringelementen ist.
Ideale in Ringen. Sei R R ein Ring. Eine nichtleere Teilmenge I\subset R I ⊂ R heißt beidseitiges Ideal oder einfach nur Ideal, falls gilt. Ein Ideal ist also eine Teilmenge I I, die abgeschlossen bezüglich R R -Linearkombinationen ist.
