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Gradient, gibt die Richtung des steilsten Anstiegs des Skalarfeldes in Form eines Vektors an. Divergenz, ist ein Maß für die Existenz von Quellen oder Senken in einem Vektorfeld. Rotation, ist ein Maß für Drehbewegungen bzw. für die Wirbel des Vektorfeldes.
- Divergenz Eines Vektorfeldes
Divergenz des Gradienten eines Skalarfeldes. Die Divergenz...
- Rotation Eines Vektorfeldes
Rotation eines Vektorfeldes verständlich erklärt...
- Divergenz Eines Vektorfeldes
Die Begriffe Gradient, Divergenz und Rotation erfordern die partiellen Ableitung aus Abschnitt 1.1.1 sowie das Konzept des Differentialoperators. Außerdem muß man zwischen skalaren und Vektorfunktionen unterscheiden. 1.4.1 Skalare Funktion.
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- Definition Der Rotation
- Eigenschaften
- Anwendungen
- Sätze, in Denen Die Rotation Eine Rolle spielt
- Rotation Von Tensoren Zweiter Stufe
- Siehe Auch
- Einzelnachweise
- Literatur
- Weblinks
Definition in kartesischen Koordinaten
Seien ( x , y , z ) {\displaystyle (x,y,z)} die kartesischen Koordinaten des dreidimensionalen euklidischen Raumes und e ^ x {\displaystyle {\hat {e}}_{x}} , e ^ y {\displaystyle {\hat {e}}_{y}} und e ^ z {\displaystyle {\hat {e}}_{z}} die auf Einheitslänge normierten, zueinander senkrechten Basisvektoren, die an jedem Punkt in Richtung der zunehmenden Koordinaten zeigen. Die Rotation eines dreidimensionalen, differenzierbaren Vektorfeldes 1. F → ( x , y , z ) = F x ( x , y , z ) e ^ x + F y...
Koordinatenunabhängige Definition mit dem Nabla-Operator
Der Nabla-Operatorist auch in anderen Koordinatensystemen definiert und so kann mit ihm die Rotation koordinatenunabhängig durch 1. r o t F → := ∇ × F → {\displaystyle \mathrm {rot} {\vec {F}}:=\nabla \times {\vec {F}}} definiert werden. Mit dem Nabla-Operator können auch der Gradient- sowie die Divergenz eines Vektorfeldes dargestellt und Produktregelnhergeleitet werden.
Definition in Kugelkoordinaten
Schreibt man das Vektorfeld in Kugelkoordinaten ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi )} als Linearkombination 1. F → ( r , θ , φ ) = F r ( r , θ , φ ) e ^ r + F θ ( r , θ , φ ) e ^ θ + F φ ( r , θ , φ ) e ^ φ {\displaystyle {\vec {F}}(r,\theta ,\varphi )=F_{r}(r,\theta ,\varphi )\,{\hat {e}}_{r}+F_{\theta }(r,\theta ,\varphi )\,{\hat {e}}_{\theta }+F_{\varphi }(r,\theta ,\varphi )\,{\hat {e}}_{\varphi }} der auf Einheitslänge normierten Vektoren 1. e ^ r = ( sin ( ϑ ) cos ( φ )...
Koordinatenfreie Darstellung der Rotation als Volumenableitung
Mit Hilfe des Satzes von Stokes kann die Rotation, ähnlich wie die Divergenz (Quellendichte), als Volumenableitung dargestellt werden. Diese Darstellung hat den Vorteil, dass sie koordinatenunabhängig ist. Aus diesem Grund wird die Rotation im Bereich der Ingenieurwissenschaftenoftmals direkt so definiert. Ist V {\displaystyle {\mathcal {V}}} ein Raumgebiet mit stückweise glattem Rand ∂ V {\displaystyle \partial {\mathcal {V}}} und dem Volumeninhalt V {\displaystyle V} , dann kann die Rotatio...
Axialvektorfeld
Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Pseudovektorfeld. Ein Vektorfeld geht bei Spiegelung am Ursprung in sein Negatives am gespiegelten Ort über, die Rotation des Vektorfeldes ändert bei dieser Spiegelung ihr Vorzeichennicht, 1. F → ′ ( x → ) = − F → ( − x → ) , ( rot F → ′ ) ( x → ) = ( rot F → ) ( − x → ) . {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {F}}^{\prime }({\vec {x}})&=-{\vec {F}}(-{\vec {x}})\,,\\{\bigl (}\operatorname {rot} \,{\vec {F}}^{\prime }{\bigr )}({\vec {x}})&={\bigl (}\opera...
Rechenregeln
Die Rotation ist linear. Für alle Konstanten c ∈ R {\displaystyle c\in \mathbb {R} } und differenzierbaren Vektorfelder F → {\displaystyle {\vec {F}}} und G → {\displaystyle {\vec {G}}} gilt 1. rot ( c F → + G → ) = c rot F → + rot G → . {\displaystyle \operatorname {rot} \,(c\,{\vec {F}}+{\vec {G}})=c\,\operatorname {rot} \,{\vec {F}}+\operatorname {rot} \,{\vec {G}}\,.} Die Rotation eines Vektorfeldes verschwindet genau dann, wenn es lokal ein Gradientenfeldist und die Divergenz eines Vekto...
Zusammenhang zur Winkelgeschwindigkeit
Bei der Drehung eines starren Körpers um die z {\displaystyle z} -Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω {\displaystyle \omega } wächst der Drehwinkel φ {\displaystyle \varphi } gleichmäßig mit der Zeit an, φ = ω t , {\displaystyle \varphi =\omega \,t\,,} und jeder Punkt durchläuft eine Bahn 1. ( x ( t ) y ( t ) z ( t ) ) = ( cos ( ω t ) x ( 0 ) − sin ( ω t ) y ( 0 ) sin ( ω t ) x ( 0 ) + cos ( ω t ) y ( 0 ) z ( 0 ) ) . {\displaystyle {\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\end{pmatrix...
Veranschaulichung durch Drehmoment
In einem Flächenkraftdichte-Feld f → {\displaystyle {\vec {f}}} , das jedem Körperoberflächenelement mit dem Inhalt d A {\displaystyle \mathrm {d} A} unabhängig von seiner Ausrichtung die Kraft f → d A {\displaystyle {\vec {f}}\mathrm {d} A} einprägt, erfährt eine Kugel mit dem Radius R {\displaystyle R} (und dem zugehörigen Volumeninhalt V {\displaystyle V} ) das Drehmoment 1. M → = R V r o t f → . {\displaystyle {\vec {M}}=RV\mathrm {rot} \,{\vec {f}}.} Vorausgesetzt ist, dass r o t f → {\d...
Zerlegung in quellen- und wirbelfreien Teil
Zweifach stetig differenzierbare Vektorfelder v → ( r → ) {\displaystyle {\vec {v}}({\vec {r}})} , die mit ihren Ableitungen für große Abstände hinreichend rasch gegen null gehen, kann man eindeutig in einen wirbelfreien Teil E → , mit rot E → = 0 → , {\displaystyle {\vec {E}}\,,\ {\textsf {mit}}\ \operatorname {rot} \,{\vec {E}}={\vec {0}}\,,} und einen quellenfreien Teil B → , mit div B → = 0 , {\displaystyle {\vec {B}}\,,\ {\textsf {mit}}\ \operatorname {div} \,{\vec {B}}=0\,,} zerlegen, 1...
Integralsatz von Stokes
Das Integral über eine Fläche F {\displaystyle {\mathcal {F}}} über die Rotation eines Vektorfeldes A → {\displaystyle {\vec {A}}} ist nach dem klassischen Integralsatz von Stokes gleich dem Kurvenintegral über die Randkurve ∂ F {\displaystyle \partial {\mathcal {F}}} über A → , {\displaystyle {\vec {A}}\,,} 1. ∬ F ( rot A → ) ⋅ d f → = ∮ ∂ F A → ⋅ d x → . {\displaystyle \iint _{\mathcal {F}}\!\!(\operatorname {rot} \,{\vec {A}})\cdot \mathrm {d} {\vec {f}}=\oint _{\partial {\mathcal {F}}}\!\...
Die Rotation von Tensorfeldern zweiter Stufe wird mit der Identität 1. r o t ( T ) ⋅ c → = r o t ( T ⊤ ⋅ c → ) ∀ c → {\displaystyle \mathrm {rot} (\mathbf {T} )\cdot {\vec {c}}=\mathrm {rot} \left(\mathbf {T} ^{\top }\cdot {\vec {c}}\right)\quad \forall {\vec {c}}} definiert. Aus ihr ergibt sich 1. r o t ( T ) = ∇ × ( T ⊤ ) {\displaystyle \mathrm {...
Walter Rogowski: Wie kann man sich vom Rotor (Wirbel) eines Vektorfeldes und vom Vektorpotentiale eine Anschauung verschaffen? In: Archiv für Elektrotechnik. Band2, 1914, S.234–245, doi:10.1007/B...Hans Karl Iben: Tensorrechnung. Mathematik für Naturwissenschaftler und Ingenieure. Vieweg+Teubner Verlag, Stuttgart, Leipzig 1999, ISBN 978-3-519-00246-8, doi:10.1007/978-3-322-84792-8.Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 8. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt 2012, ISBN 978-3-8171-2008-6(Abschn. 13.2, Räumliche Differentialoperatoren).Formelsammlung Mechanik (Memento vom 10. August 2016 im Internet Archive)Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie. Praxisnahe, anschauliche Einführung. Springer Verlag, 2002, ISBN 3-540-42018-5.Siegfried Großmann: Mathematischer Einführungskurs für die Physik. Teubner-Verlag, 2012, ISBN 978-3-8351-0254-5, doi:10.1007/978-3-8348-8347-6.Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.Wie „krümme“ ich Nabla und Delta? Herleitung des Nablaoperators für orthonormal krummlinige Koordinaten, auf matheplanet.com.
Dies beschreibt die Geschwindigkeit einer Rotations-bewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω0. Es gilt div⃗v= 0 und rot⃗v= (0,0,2ω0) = 2ω̸= ⃗0 Sei nun F⃗ ein Gradientenfeld, d.h. es existiert eine Skalarfunktion Φ mit F⃗= gradΦ = (∂ ∂x1,∂ ∂x2,∂ ∂x1) . Dann ist rotF⃗= (∂2 ∂x3∂x2 − ∂2 ∂x2∂x3, ∂ ...
Rechenregeln fur Di erentialoperatoren. Fur raumliche Vektorfelder F, ~ G ~ und raumliche Skalarfelder U, V gelten folgende Rechenregeln. Bei der Hintereinanderschaltung von Gradient, Divergenz und Rotation gilt rot(grad U) = ~ 0 div(rot F) ~ = 0 rot(rot F) ~ = grad(div F) ~ F ~.
Der Gradient ist eine Verallgemeinerung der Ableitung in der mehrdimensionalen Analysis. Zur besseren Abgrenzung zwischen Operator und Resultat seiner Anwendung bezeichnet man solche Gradienten skalarer Feldgrößen in manchen Quellen auch als Gradientvektoren. [1]
Gradient, Divergenz und Rotation. 1. Gradient. Sei φ(x) ein skalares Feld und a ein konstanter Vektor. Die Ableitung des ska-laren Feldes in Richtung des Vektors a ist definiert durch. φ ∂ φ ∂ φ. = . a. d ∂ φ. φ( x +a t dt. )|t=0= ∂ x a1+. ∂ x a2+. ∂ x a3. Mit dem Gradienten. gilt: ∂ φ ∂ φ grad e1+ e2+. φ= e3. ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3. φ.
