Suchergebnisse
Suchergebnisse:
Die Epsilon-Definition des Grenzwerts einer Folge. Anschaulich bedeutet x = lim n → ∞ x n, dass die Folgenglieder gegen x streben, wenn n gegen unendlich strebt. Wie lässt sich dies präzisieren? Der erste Ansatz ist vielleicht: „Die Folgenglieder x n kommen dem Wert x beliebig nahe.“
Epsilon-Beweise für Grenzwerte können sehr aufwendig werden. In diesem Kapitel behandeln wir einige Sätze, die die Bestimmung von Grenzwerten vereinfachen.
- Grenzwert einer reellen Zahlenfolge
- Grenzwert einer Rationalen Zahlenfolge
- Grenzwert einer Komplexen Zahlenfolge
- Grenzwert einer Folge Von Elementen eines Metrischen Raumes
- Grenzwert einer Folge Von Elementen eines topologischen Raumes
- Fréchet-Axiome
- Allgemeines für Die Praxis
- Siehe Auch
- Belege
- Weblinks
Erläuterung und Definition
Jedes Glied a n {\displaystyle a_{n}} einer Folge ( a n ) n ∈ N {\displaystyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }} reeller Zahlen hat einen Index n {\displaystyle n} . Die Zahl a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } ist der Grenzwert dieser Folge, falls für jedes ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} alle Glieder mit hinreichend großem Index „um a {\displaystyle a} herum“ in dem offenen Intervall ( a − ε , a + ε ) {\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )} liegen. Also liegen dann auch nur endl...
Illustration
1. Beispiel einer Folge, die gegen den Grenzwert a {\displaystyle a} konvergiert. 2. Wenn wir ein ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} vorgeben, gibt es einen Mindestindex N 0 {\displaystyle N_{0}} , so dass sich ab diesem Index die Folge im Epsilon-Schlauch ( a − ε , a + ε ) {\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )} befindet. 3. Auch bei einem kleineren ε 1 > 0 {\displaystyle \varepsilon _{1}>0} gibt es einen Mindestindex N 1 {\displaystyle N_{1}} , nach dem die Folge vollständig im Ep...
Eindeutigkeit des Grenzwertes
Der Grenzwert einer Folge ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} ist, sofern er existiert, eindeutig bestimmt. Diese Aussage ergibt sich direkt aus der Definition anhand eines Widerspruchsbeweises. Hätte eine Folge ( a n ) {\displaystyle (a_{n})} nämlich zwei verschiedene Grenzwerte a ≠ b {\displaystyle a\neq b} , so besäßen diese einen Abstand d = | a − b | > 0 {\displaystyle d=|a-b|>0} . Betrachtet man nun ϵ {\displaystyle \epsilon } -Umgebungen mit ϵ < d 2 {\displaystyle \epsilon <{\tfrac {d}{2}}...
Der Grenzwert einer Folge rationaler Zahlenwird formal wie der Grenzwert einer Folge reeller Zahlen definiert: 1. ( lim n → ∞ a n = a ) ⟺ ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N : | a n − a | < ε {\displaystyle \left(\lim _{n\to \infty }a_{n}=a\right)\quad \Longleftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} \;\forall n>N:\;\left|a_{n}-a\righ...
Der Grenzwert einer Folge komplexer Zahlenwird formal ebenfalls wie der Grenzwert einer Folge reeller Zahlen definiert: 1. ( lim n → ∞ a n = a ) ⟺ ∀ ε > 0 ∃ N ∈ N ∀ n > N : | a n − a | < ε {\displaystyle \left(\lim _{n\to \infty }a_{n}=a\right)\quad \Longleftrightarrow \quad \forall \varepsilon >0\;\exists N\in \mathbb {N} \;\forall n>N:\;\left|a_{...
Der Abstand zwischen den Folgengliedern und dem Grenzwert wurde als Betrag der Differenz angegeben. Sind die Folgenglieder keine reellen Zahlen, sondern z. B. Punkte in einem dreidimensionalen Raum, so wird der Betrag der Differenz durch eine Norm der Differenz oder noch allgemeiner durch eine Metrik ersetzt. Eine Folge wird dann als konvergent geg...
Definition
Der Grenzwertbegriff wird in der Topologie verallgemeinert. Ist ein topologischer Raum ( X , T ) {\displaystyle (X,{\mathfrak {T}})} , also eine Menge X {\displaystyle X} mit der Menge der in diesem topologischen Raum offenen Teilmengen T {\displaystyle {\mathfrak {T}}} gegeben, so wird der Grenzwert einer Folge von Elementen a n ∈ X {\displaystyle a_{n}\in X} gegen einen Grenzwert a ∈ X {\displaystyle a\in X} folgendermaßen definiert: 1. lim n → ∞ a n = a ⟺ ∀ U ∈ U ( a ) ∃ N ∈ N ∀ n > N : a...
Ein sehr allgemeiner Grenzwertbegriff wird durch die Fréchet-Axiome definiert: Ein Raum X {\displaystyle X} wird als Raum mit Konvergenz im Sinne von Fréchet bezeichnet, wenn 1. Jede Folge mit Elementen aus X {\displaystyle X} höchstens einen Grenzwert hat, 2. Jede konstante Folge x n = x ∈ X {\displaystyle x_{n}=x\in X} gegen x {\displaystyle x} k...
Oft weiß man nicht von vornherein, ob ein Verfahren konvergiert, z. B., wenn bei einem Iterationsverfahren zu einem Eingangswert einer Größe I {\displaystyle I} in bestimmter Weise eine Korrektur δ I {\displaystyle \delta I} berechnet und der so gewonnene Wert als neuer Eingangswert genommen wird (also bei einer Folge I n → I n + δ I n =: I n + 1 →...
Bernard Bolzano: Der binomische Lehrsatz und als Folgerung aus ihm der polynomische, und die Reihen, die zur Berechnung der Logarithmen und Exponentialgrössen dienen, genauer als bisher erwiesen....Die ε {\displaystyle \varepsilon } -Umgebung einer reellen Zahl ist ein besonderer Fall eines allgemeineren mathematischen Begriffs der Umgebung.Gabriele Adams, Hermann-Josef Kruse, Diethelm Sippel, Udo Pfeiffer: Mathematik zum Studieneinstieg. 6. Auflage. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-40056-8, S. 79.Robert B. Ash: Real Analysis and Probability. Academic Press, New York 1972, ISBN 0-12-065201-3, S. 371 f., Comments A.24.Limit in der Encyclopaedia of MathematicsEine Zahl g heißt Grenzwert einer unendlichen Folge a n , wenn in jeder Umgebung von g fast alle Glieder der Folge liegen. \(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = g\) Wenn es einen Grenzwert gibt, so ist dieser auch ein Häufungswert.
Der Grenzwert sagt etwas über die Eigenschaften von Abbildungen an deren Grenzen aus. Eine solche Abbildung kann beispielsweise eine reelle Folge sein, aber auch eine Funktion. Der Grenzwert hilft uns dann, etwas über deren Verhalten auszusagen, denn er erlaubt es uns, Dinge zu betrachten, die eigentlich nicht berechenbar sind. Anschaulich ...
4. Juli 2014 · Mathe by Daniel Jung. 915K subscribers. Subscribed. 3.8K. 453K views 9 years ago Folgen und Reihen, Analysis. Grenzwert mit Epsilon und Limes bei Folgen. Wenn noch spezielle Fragen sind:...
- 4 Min.
- 464,8K
- Mathe by Daniel Jung
Im heutigen Video lernst du, wie genau der Grenzwert einer Folge definiert ist! Die mathematische Definition sieht zwar auf den ersten Blick ziemlich lang und kompliziert aus, aber wenn du dir ...
- 5 Min.
- 7,5K
- Think Logic
