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14/28 Berechnen Sie das Verhältnis des Flächeninhalts der Fläche, die durch die Kurve. f (x ) = x 3 − 6 x 2 + 9 x und die x-Achse begrenzt wird, zum Flächeninhalt der Fläche, die von dieser Kurve und der Geraden g( x ) = x begrenzt wird. =. 6x. 14/29 Führen Sie bei folgender Funktion y eine Kurvendiskussion durch.
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Integralrechnung kurzgefasst. 1. Fläche unter einem Graphen. Die Einstiegsfrage lautet: Wie kann man den Flächeninhalt A eines Flächenstücks berechnen, das begrenzt wird. vom Graphen Gf einer (stetigen) Funktion. von der x-Achse. von zwei Parallelen zur y-Achse x = a und x = b . Lösung: Die Streifenmethode.
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- 1 Überblick
- f(x) dx f
- f [a; b]
- 1.1 Unbestimmtes Integral
- F f
- 1.2 Bestimmtes Integral
- b f(x) dx
- 2 Flächeninhalte näherungsweise bestimmen
- 2.3 Numerische Integration
- 3 Stammfunktionen
- 3.1 Allgemeine Eigenschaften
- 3.4 Andere Integrationsvariablen
- 3.5 Lineare Substitution
- 3.7 Partielle Integration
- 3.8 Stammfunktionen grafisch bestimmen
- 4 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
- 4.1 Erklärung anhand von Beispielen
- 4.2 Allgemeine Eigenschaften
- Herleitung: F(b) F(a)
- 4.4 Umgang mit negativen Flächen
- 4.5 Flächeninhalt zwischen zwei Funktionsgraphen
- 5 Uneigentliche Integrale
- 5.2 Uneigentliche Integrale zweiter Art
- Z b Z b f(x) dx = lim f(x) dx = F(b)
- Z b Z b f(x) dx = lim f(x) dx = lim F(s) F(a)
- b Z b f(x) dx = lim f(x) dx = lim F(s) lim F(r)
- 6 Geometrische Anwendungen der Integralrechnung
- 6.1 Bogenlänge von Funktionsgraphen
- a b `
- 6.2 Volumen von Rotationskörpern
- 6.4 Linearer Mittelwert von Funktionen
- 6.5 Quadratischer Mittelwert von Funktionen
- 7.2 Wegfunktion
Da der Integralbegriff zwei Ausprägungen hat, welche zunächst keinen erkennbaren Zusammen-hang zeigen, ist es sinnvoll, diese zunächst etwas oberflächlicher zu behandeln und erst in weiterer Folge näher und exakter darauf einzugehen. Man unterscheidet die folgenden beiden Arten von In-tegralen:
... das unbestimmte Integral der Funktion b f(x) dx
... das bestimmte Integral der Funktion im Intervall Dabei kommen verschiedene Symbole und Variablen vor, deren Bedeutung folgende ist: f(x) ... die zu integrierende Funktion (auch Integrand genannt) R ... das Integralzeichen (ein stilisiertes S, welches für „Summe“ steht) dx x x ... das Differential von (ein unendlich kleiner Abschnitt der -Achse)...
Bevor die Bedeutung des unbestimmten Integrals erläutert werden kann, muss die Stammfunktion
erklärt werden. Jede Funktion , deren Ableitung der Funktion entspricht, nennt man Stammfunk-
x Das bestimmte Integral entspricht dem orientierten Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und - [a; b] Achse im Intervall . Der Begriff „orientiert“ bedeutet, dass jene Flächenabschnitte, die oberhalb x der -Achse liegen, positiv gewertet werden und jene, die unterhalb der x -Achse liegen, negativ ge-wertet werden. Man kann sich dazu vorstellen, d...
Wenn der Funktionswert an einer Stelle negativ ist, ist anhand dieser Überlegung auch klar, dass die dx entsprechende Teilfläche negativ ist. Denn ist immer positiv, und das Produkt aus einem positiven und einem negativen Wert ist immer negativ. Die Summierung von unendlich vielen Rechtecken klingt nicht besonders praktikabel. Tatsächlich ist dies ...
In den folgenden Abschnitten werden einige Methoden vorgestellt, um bestimmte Integrale und so-mit den Flächeninhalt zwischen Funktionsgraph und x -Achse, näherungsweise zu ermitteln. Oftmals ist es in der Praxis nicht erforderlich, genauere Werte zu kennen. In anderen Fällen ist es überhaupt nicht möglich, den Wert exakt (im Sinne eines symbolisch...
Neben den soeben vorgestellten Strategien zur näherungsweisen Bestimmung von Integralen gibt es eine Vielzahl weiterer Methoden, welche unter dem Oberbegriff „Numerische Integration“ zusam-mengefasst werden. Details dazu sind im zugehörigen Skriptum zu finden: https://mathe.zone/data/skripten/numerische-integration.pdf
Wie bereits beschrieben wurde, bezeichnet man jede Funktion F , deren Ableitung der Funktion f ent-spricht, als Stammfunktion von f . Jede stetige Funktion besitzt unendlich viele Stammfunktionen, welche sich lediglich durch einen konstanten Summanden unterscheiden. Während das Berechnen von Ableitungsfunktion eher einfach ist, da es unter systemat...
Wie auch bei der Differentialrechnung, gilt bei der Integralrechnung die Summenregel. Konkret be-deutet dies, dass einzelne Summanden getrennt integriert werden können:
Bisher wurden ausschließlich Funktionen integriert, deren unabhängige Variable x hieß. In diesem Abschnitt wird erläutert, wie man vorgeht, wenn die Integrationsvariable nicht x heißt, wenn meh-rere Variablen vorkommen oder wenn die Integrationsvariable im Funktionsterm überhaupt nicht vorkommt.
Die lineare Substitution ist ein Integrationsverfahren, welches verwendet wird, wenn innerhalb einer
Bei der partiellen Integration handelt es sich um die Umkehrung der Produktregel. Das Ziel ist es, ein bestehendes Integral in ein Integral zu überführen, welches einfacher gelöst werden kann. Die Formel dazu lautet folgendermaßen: f(x) g0(x) dx = f(x) g(x)
Bei diesem Aufgabentyp ist lediglich ein Funktionsgraph vorgegeben, für welchen man den Graphen einer zugehörigen Stammfunktion skizzieren soll. Es wird hier genau umgekehrt vorgegangen, wie beim grafischen Ableiten: Ist der Funktionsgraph positiv, so ist die zugehörige Stammfunktion ansteigend. Je größer der Funktionswert ist, umso steiler ist der...
Durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (auch als Hauptsatz der Analysis bzw. Fundamentalsatz der Analysis bekannt) ergibt sich eine sehr effiziente Methode zur Bestimmung des orientierten Flächeninhalts zwischen Funktionsgraph und x -Achse. Die einzigen Bedingungen dafür sind, dass die Funktion f integrierbar ist (jede stetige F...
Wie bereits beschrieben, ist es nicht so einfach, die Gültigkeit des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung für jede beliebige Funktion zu zeigen. In vielen Fällen kann man den Flächeninhalt jedoch auch durch andere Methoden ermitteln. Dadurch entsteht eine Möglichkeit, die Gültigkeit des Satzes – zumindest für diese Funktionen – zu bes...
In diesem Kapitel werden zwei allgemeine Eigenschaften von bestimmten Integralen mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung bewiesen. [a; b] Die erste Eigenschaft besagt, dass man das bestimmte Integral im Intervall aufspalten kann [a; z] [z; b] z a b in zwei Teilintegrale in den Intervallen und , wobei eine beliebige Stelle z...
Die linke Seite ist laut Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung identisch mit . Für die rechte Seite erhält man folgendes Resultat: F(z) F(a) + F(b) F(z) = F(z) F(a) + F(b) F(z) = F(a) + F(b) = F(b) F(a) Somit wurde gezeigt, dass beide Seiten gleich sind und daher die obige Eigenschaft allgemein gültig ist. Die zweite Eigenschaft besagt, ...
Bisher wurden stets Funktionen untersucht, deren Funktionswert im betrachteten Intervall positiv war. Wie bereits auf Seite 2 beschrieben, wird durch das bestimmte Integral der sogenannte orien-tierte Flächeninhalt berechnet. Das bedeutet, dass Flächen oberhalb der x -Achse positiv gewertet werden und Flächen unterhalb der x -Achse negativ gewertet...
Die Berechnung des Flächeninhalts zwischen zwei Funktionsgraphen funktioniert ähnlich, wie die Berechnung des Flächeninhalts zwischen Funktionsgraph und x -Achse. Man muss jedoch hier die Differenz beider Funktionen bilden. Zu beachten ist, dass diese Differenz positiv sein muss. Auch hier gibt es zwei Herangehensweisen: Es werden zuerst alle Schni...
Von einem uneigentlichen Integral spricht man in folgenden beiden Fällen: Mindestens eine der beiden Integrationsgrenzen ist . Hierbei spricht man von einem uneigent-lichen Integral erster Art. Die zu integrierende Funktion ist an mindestens einer Integrationsgrenze nicht definiert. Dabei handelt es sich um ein uneigentliches Integral zweiter Art.
Bei uneigentlichen Integralen zweiter Art geht man im Wesentlichen genauso vor wie im obigen Abschnitt. Es müssen hier jedoch die einseitigen Grenzwerte verwendet werden (je nachdem, von welcher Seite man sich der undefinierten Stelle nähert). Falls die Funktion an der Stelle a undefiniert ist, lautet die zugehörige Formel folgendermaßen:
a r!a+ r lim F(r) r!a+ Ist sie an der Stelle b undefiniert, so verwendet man folgende Formel:
a s!b a s!b Sollte die Funktion an beiden Stellen undefiniert sein, so werden die obigen Formeln kombiniert:
r!a+ r s!b r!a+ s!b Beispiel: Es soll das folgende Integral berechnet werden:
Aus der oben ermittelten Geschwindigkeitsfunktion kann auf dieselbe Art und Weise die Wegfunkti-on bestimmt werden:
Aus der oben ermittelten Geschwindigkeitsfunktion kann auf dieselbe Art und Weise die Wegfunkti-on bestimmt werden:
Aus der oben ermittelten Geschwindigkeitsfunktion kann auf dieselbe Art und Weise die Wegfunkti-on bestimmt werden:
Aus der oben ermittelten Geschwindigkeitsfunktion kann auf dieselbe Art und Weise die Wegfunkti-on bestimmt werden:
Aus der oben ermittelten Geschwindigkeitsfunktion kann auf dieselbe Art und Weise die Wegfunkti-on bestimmt werden:
Aus der oben ermittelten Geschwindigkeitsfunktion kann auf dieselbe Art und Weise die Wegfunkti-on bestimmt werden:
Aus der oben ermittelten Geschwindigkeitsfunktion kann auf dieselbe Art und Weise die Wegfunkti-on bestimmt werden:
6 Eine wichtige Anwendung für Integrale ist die Bestimmung einer krummlienig begrenzten Fläche. Diese wird mit dem bestimmten Integral berechnet.Um zu klären, was dahinter steckt, müssen wir etwas weiter ausholen und mit einem
Grundlagen der Integralrechnung W. Kippels 30. April 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Das unbestimmte Integral 2 2 Das bestimmte Integral 4 3 Beispielaufgaben 7
6. Integralrechnung 6.1. Bestimmtes Integral. Berechnung des bestimmten Integrals. Die Fläche unter der Kurve f(x) zwischen a und b ist die Differenz zwischen z.B. den Flächen von 0 bis b und von 0 bis a: Berechnung des bestimmten Integrals. Ist F(x) eine Stammfunktion der Funktion f(x), dann ist ˆb a.
Integralrechnung – Integralregeln Regel &’ (’ Konstantenregel ) )∗ Potenzregel * * +,-./ 0 1 01 1 ln 0 1 Exponentialregel I 45 45 Exponentialregel II ˝ 5 ˝ ln ˝ Logarithmusregel I ln ∗ln Logarithmusregel II ˇlog ∗ln ln ˝ Sinusregel sin cos Cosinusregel cos sin Summenregel ; <= > <?
