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- Kurvendiskussion einfach erklärt. Eine Kurvendiskussion ist die ausführliche Untersuchung einer Funktion. Dabei ermittelst du geometrische Eigenschaften des Graphen der Funktion, wie beispielsweise Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und das Verhalten im Unendlichen.
- Definitionsbereich bestimmen. im Video zur Stelle im Video springen. (00:12) Obwohl oft nicht extra nach ihm in Aufgaben gefragt wird, solltest du dir immer den Definitionsbereich (oder auch die Definitionsmenge) aufschreiben.
- Achsenschnittpunkte berechnen. im Video zur Stelle im Video springen. (00:43) Als Nächstes berechnest du die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen . Der Schnittpunkt mit der y-Achse heißt y-Achsenabschnitt und die Schnittpunkte mit der x-Achse Nullstellen.
- Symmetrieverhalten bestimmen. im Video zur Stelle im Video springen. (01:47) Funktionen können punktsymmetrisch zum Ursprung oder achsensymmetrisch zur y-Achse sein.
Unter Kurvendiskussion versteht man in der Mathematik die Untersuchung des Graphen einer Funktion auf dessen geometrische Eigenschaften, wie zum Beispiel Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, Hoch- und Tiefpunkte, Wendepunkte, gegebenenfalls Sattel- und Flachpunkte, Asymptoten, Verhalten im Unendlichen usw.
- Kurvendiskussion Grundlagen
- Extrempunkte (Hochpunkt & Tiefpunkt) berechnen
- Wendepunkte
- Monotonie
- Krümmung
- Grenzverhalten
- Symmetrie
- Achsenabschnitte
- Einschub Intervallschreibweise
- Definitionsbereich
- GeneratedCaptionsTabForHeroSec
Übersicht von geometrischen Eigenschaften, die bei einer Kurvendiskussion untersucht werden können: Zusätzlich werden wir folgende Themen untersuchen: 1. Definitionsbereich 2. Wertebereich 3. Symmetrie 4. Skizze (grob) – Zeichnung (genau) Schau dir vertiefend Daniels Einführungsvideo zum Thema Kurvendiskussion an!
Vorgehen: 1. Notwendige Bedingung: f′(x)=0⇒ wir erhalten potentielle Extremstellen xE! 2. Hinreichende Bedingung: f′(xE)=0 und f“(xE)≠0 Für f“(xE)kann folgendes rauskommen: 1. f“(xE)<0Hochpunkt (HP) 2. f“(xE)=0 Sattelpunkt (SP), für SP muss zudem f“′(xE)≠0sein! 3. f“(xE)>0Tiefpunkt (TP) 3. y-Wert der Extremstelle: xE-Wert in f(x) einsetzen ⇒ E(xE/f...
Vorgehen: 1. Notwendige Bedingung: : f“(x)=0⇒ wir erhalten potentielle Wendestellen xW! 2. Hinreichende Bedingung: : f“(xW)=0 und f“′(xW)≠0 Für f“′(xW)kann folgendes rauskommen: 1. f“′(xW)<0Links-rechts-Wendestelle 2. f“′(xW)>0Rechts-links-Wendestelle 3. y-Wert der Wendestelle: xW-Wert in f(x) einsetzen ⇒ W(xW/f(xW)) Graphisch betrachtet handelt es...
Zur Beurteilung des Monotonieverhaltens (Steigungsverhaltens) einer Funktion f(x) kann die Ableitung f'(x) betrachtet werden. Bekanntlich liefert die erste Ableitung einer Funktion f(x) die Steigungsfunktion f’(x), welche die an jeder Stelle x beschreibt, ob der Graph gerade steigt (↗) oder fällt (↘). Damit lässt sich der Monotoniesatz wie folgt fo...
Zur Beurteilung der Krümmung verwendet man häufig die zweite Ableitung. Es gilt üüf“(x)>0⇒f(x)ist links gekrümmt bzw. konvex∪f“(x)<0⇒f(x)ist rechts gekrümmt bzw. konkav∩ Das ganze soll euch anhand des folgenden Beispiels klar werden. Die Funktion f(x)=x2,x∈R soll mit Hilfe der zweiten Ableitung auf ihr Krümmungsverhalten untersucht werden. Wir bild...
limx→−∞ „ich schaue links“ – hohe negative Zahl für xeinsetzen = „Wo kommt der Graph her?“limx→+∞ „ich schaue rechts“ – hohe positive Zahl für xeinsetzen = „Wo geht der Graph hin?“Verhalten für x→±∞Schauen wir uns einmal folgende Funktion an: f(x)=an⋅xn. Zur Beurteilung des Verhaltens betrachtet man immer die höchste Potenz n von x und ihren Koeffizienten an:Symmetrieeigenschaften bei ganzrationalen Funktionen: 1. Kommen in der Funktion nur gerade Exponenten vor, wie z.B. beif(x)=x4−2x2−4dann ist die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse! Wir können die Achsensymmetrie zur y-Achse auch rechnerisch zeigen. Es giltf(−x)=f(x)(−x)4−2⋅(−x)2−4=x4−2x2−4x4−2x2−4=x4−2x2−4 2. Kommen in der Funktion nur ungerade...
Hier werden die Achsenabschnitte 1. mit der y-Achse untersucht: Gegeben sei eine Funktion f(x)=2x2−4x−16. Für den y-Achsenabschnitt setzen wir x=0 in die Funktion ein f(x)=2x2−4x−16f(0)=2⋅02−4⋅0−16f(0)=−16 und wir erhalten mit Sy(0/−16)den Schnittpunkt von Funktion und y-Achse. 1. mit der x-Achse untersucht:Der Schnittpunkt mit der x-Achse wird auc...
SchreibweiseMengenschreibweiseTyp[a,b]{x∈R∣a≤x≤b}geschlossen[a,b){x∈R∣a≤x
Die Bestimmung des Definitionsbereichs ist sehr wichtig. Auch wenn oft in der Aufgabenstellung nicht explizit gefordert, sollte man sich bevor man irgendetwas rechnet immer vergewissern, welche x-Werte man in die Funktion f(x) überhaupt einsetzen darf. Wenn der Definitionsbereich schon vorgegeben ist, müsst ihr diesen verwenden. Beachte: Der Defini...
Lerne alles über Kurvendiskussion, von Extrempunkten über Wendepunkte bis Symmetrie. Schau dir anschauliche Erklärungen, Beispiele und Videos von Daniel an.
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- Definitionsmenge. Die Definitionsmenge besteht aus allen Zahlen, die für die Variable x eingesetzt werden dürfen. Beispiel. Hier klicken zum Ausklappen.
- Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen sind zum einen die Schnittpunkte mit der x-Achse und zum anderen der Schnittpunkt mit der y-Achse.
- Symmetrieverhalten. Eine Funktion kann zur y-Achse symmetrisch sein oder auch zum Ursprung. Um zu überprüfen, ob die Funktion solch ein Symmetrieverhalten zeigt, muss für alle Werte aus dem Definitionsbereich von f Folgendes gelten
- Verhalten im Unendlichen. Um das Verhalten im Unendlichen zu bestimmen, stellen wir uns die Funktion für eine sehr große und sehr kleine Variable vor.
Lerne, wie man die Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte einer Funktion berechnet und wie sie den Graphen beeinflussen. Erfahre auch, was Krümmung, Monotonie und Vorzeichen-wechsel bedeuten und wie man sie anhand von Ableitungen bestimmt.
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Lerne, wie Du eine Funktion auf ihre Eigenschaften untersuchst und ihren Funktionsgraphen zeichnest. Finde hier Anleitungen, Formeln und Beispiele zu Nullstellen, Symmetrie, Extremstellen, Wendepunkte und mehr.
