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Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, wie z. B. in den ganzen Zahlen , Addition und Multiplikation definiert und miteinander bezüglich Klammersetzung verträglich sind. Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, das sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt.
Definition: Eine nichtleere Menge R von Elementen a, b, c, ... heißt Ring, wenn in ihr zwei Verknüpfungen (geschrieben als Addition und Multiplikation) erklärt sind, die den folgenden Axiomen genügen: (Axiom 1) Die Menge R bildet bezüglich der Addition einen Modul. (Axiom 2) Die Menge R bildet bezüglich der Multiplikation eine Halbgruppe.
Definition (Ring) Ein Ring ist eine Struktur, die aus einer Menge und zwei verschiedenen inneren Verknüpfungen besteht: Die Verknüpfungen sind Abbildungen von nach , sie bilden Paare von Elementen aus auf Elemente aus ab. Wir nennen Addition und Multiplikation. Die Struktur muss folgende Bedingungen erfüllen:
Ringe und Körper sind algebraische Strukturen mit zwei Operationen, gemeinhin einer "Addition" und einer "Multiplikation", wobei diese Namen nur der Anschaulichkeit halber gewählt sind. Beide Strukturen verlangen, dass bzgl. der Addition eine kommutative Gruppe vorliegt.
Definition (Ring) : Eine Menge mit zwei Verknüpfungen. heißt Ring, geschrieben als Tupel , wenn Folgendes gilt: (R1) ist eine kommutative Gruppe. (R2) ist eine Halbgruppe. (R3) Es gelten die Distributivgesetze. und. Gilt zusätzlich für alle , so nennt man einen kommutativen Ring. Für das neutrale Element von schreibt man oft oder .
Definition: Ein Ring ist eine Menge R mit zwei Verknüpfungen “+” und “·”, so dass gilt: (ℝ,+) ist eine abelsche Gruppe , “·” ist eine assoziative Verknüpfung auf ℝ. es gilt das Distributivgesetz: für alle a,b,c∈ℝ gilt: a· (b+c) = (a·b) + (a·c) = (b+c)·a = (b·a) + (c·a). Beispiele:
Ring (Algebra) Bei einem Ring handelt es sich um eine algebraische Struktur, die aus einer Menge und zwei darauf definierten inneren zweistelligen Verknüpfungen besteht, und zwar aus einer Addition und einer Multiplikation, deren Eigenschaften denen der Addition und der Multiplikation von ganzen Zahlen entsprechen.
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