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    zum Thema: integrale
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    • (182)
    • Stammfunktion bilden. Eine Funktion F ist eine Stammfunktion einer Funktion f, wenn für alle $x\\in\\mathbb{D}$ gilt: F'(x)=f(x). Die Umkehrung des Ableitens ist das Bilden von Stammfunktionen und wird deshalb auch umgangssprachlich Aufleiten genannt.
    • Bestimmtes Integral. Wenn Integrationsgrenzen angegeben sind, handelt es sich nicht mehr um ein unbestimmtes Integral. Man spricht dann von einem bestimmten Integral, da die Integrationsgrenzen ja angegeben – folglich bestimmt – sind.
    • Integration durch Substitution. Kommen wir zur Integration durch Substitution. Unter Substitution versteht man allgemein das Ersetzen eines Terms durch einen anderen.
    • Mittelwertsatz der Integralrechnung. Häufig ist eine Funktion gegeben, die den Wasserstand angibt oder die Geschwindigkeit des Wasserzuflusses! Wenn dann zum Beispiel nach der durchschnittlichen Höhe des Wasserstandes in einem bestimmten Zeitraum gefragt ist, bedient man sich oft am Mittelwertsatz der Integralrechnung
  1. matheguru.com › integralrechnung › integralIntegral | MatheGuru

    • Geschichtliche Entwicklung Der Integralrechnung
    • Leibniz und Newton
    • Terminologie und Schreibweise
    • Bestimmtes Integral
    • Unbestimmtes Integral

    Die erste dokumentierte mathematische Methode zur Berechnung von Flächen, also der Integration, war die Exhaustionsmethode, entwickelt vom griechischen Astronom Eudoxus von Knidos (ca. 370 v. Chr.). Der antike griechische Philosoph Antiphon war davon überzeugt, dass man den Kreis Quartieren könne, da sich jedes beliebige andere Polygon in ein Quadrat umwandeln lässt. Er ging davon aus, dass ein Polygon ab einer gewissen Seitenzahl identisch wäre mit einem Kreis. Auf Basis dieser Überlegung entwickelte Eudoxus die Exhaustionsmethode. Die unbekannte Fläche einer beliebigen Figur oder eines beliebigen Polygons kann mathematisch ermittelt werden, indem dessen Fläche mit Polygonen gefüllt werden, dessen Flächenberechnung bekannt ist. Lässt man die Anzahl dieser Polygone gegen unendlich konvertieren, wird ihre Fläche unendlich klein während ihrer Anzahl unendlich groß wird. Dadurch wird die Differenz zwischen der Fläche der Polygone und der Fläche der Figur unendlich klein. Archimedes ent...

    Unabhängig voneinander entdeckten Gottfried Leibniz und Sir Isaac Newton den Fundamentalsatz der Analysis. Das Theorem stellt die Verbindung zwischen Integralrechnung und Differenzialrechnung her. Diese Verbindung, zusammen mit der Tatsache, dass Ableitungen sich relativ einfach berechnen lassen, kann verwendet werden, um wiederum Integrale zu berechnen. Die Arbeit von Leibniz und Newton stellt die Basis der modernen Analysis dar, wobei die Schreibweise für Integrale von Leibniz eingeführt wurde, und noch heute so verwendet wird.

    Integral Die Schreibweise für das Integral, so wie wir sie heute benutzen, wurde ursprünglich von Gottfried Wilhelm Leibniz erfunden. Es soll ein stilisiertes "S" (für "Summe") darstellen und ausdr...
    Ober- und Untergrenze Die Ober- und Untergrenze ist nur für bestimmte Integrale von Bedeutung. Ober- und Untergrenze müssen keine Zahlen sein. Auch Variablen, Terme oder ±∞ sind möglich. Sollten di...
    Integrand Der Integrand ist die Funktion, die integriert werden soll. Auch wenn der Integrand meistens eine Funktion der Integrationsvariable ist, so muss dies nicht unbedingt der Fall sein.
    Differential Das Differential hat eine historische Bedeutung. Nehmen wir als Beispiel das Riemann-Integral. Hier werden Rechtecke benutzt, um die Fläche zwischen Kurve und x-Achse zu berechnen. Ums...

    Sind bei einem Integral die Integrationsgrenzen angegeben, so nennt man es bestimmtes Integral. Nachdem die Stammfunktion gefunden wurde, müssen Ober- und Untergrenze eingesetzt werden, und ein Wert errechnet werden. Dieser Wert entspricht der Fläche zwischen der Funktion und der x-Achse in dem Intervall [a, b]. Verläuft die Funktion unterhalb der x-Achse, ist das Ergebnis negativ. Ein bestimmtes Integral wird so berechnet: Nachdem die Stammfunktion bestimmt wurde, werden Obergrenze und Untergrenze eingesetzt und voneinander subtrahiert. Dies wird auch als zweiter Hauptsatz der Analysis bezeichnet.

    Das unbestimmte Integral (auch Stammfunktion genannt), kann als Umkehrung des Differenzierens angesehen werden. Da die Ableitung die Funktion nicht vollständig bestimmt, fügen wir "+C" an die Stammfunktion an (man kann jede beliebige Konstante an eine Ausgangsfunktion f anfügen und ihre Ableitung wird gleich bleiben). Dies ist die Integrationskonstante. Im Gegensatz zu dem bestimmten Integral, ist die Stammfunktion nicht auf einem Intervall bestimmt, sondern allgemein, die Funktion die die Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen bestimmt. Damit ist die Stammfunktion meistens der Ausgangspunkt für die Berechnung der Fläche. Im übrigen sollte angemerkt werden, dass wir hier zwar meistens von Flächesprechen, dies allerdings je nach Kontext und Fragestellung nicht zwangsläufig korrekt ist. Von einem physikalischen Standpunkt aus betrachtet (und damit einem anwendungsorientierten Standpunkt) sucht man nur sehr selten eine Fläche, wenn man integriert.

  2. Integrale über Mannigfaltigkeiten Insbesondere in vielen physikalischen Anwendungen ist die Integration über die Oberfläche eines Gebiets interessant. Solche Oberflächen werden üblicherweise durch Mannigfaltigkeiten beschrieben.

  3. de.wikipedia.org › wiki › IntegralIntegral – Wikipedia

    Integral steht für: in der Analysis ein Grenzwert, siehe Integralrechnung. die Lösungsfunktion einer Differentialgleichung. Integral (Satellit), ein Gammastrahlen-Teleskop der Europäischen Weltraumorganisation ESA. Integral Verkehrstechnik AG Jenbach, ehemaliger Hersteller von Schienenfahrzeugen (1997–2001)

  4. A.18 | Integrale und Flächeninhalte. Will man den Flächeninhalt berechnen, z.B. bei der Flächenberechnung von Schaubildern, dann kommen Integrale ins Spiel. Die Integralberechnung zählt zu den wichtigen Themen der Mathematik. Das Integral ist ein Oberbegriff für das unbestimmte und das bestimmte Integral. Die Berechnung von Integralen ...

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