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    zum Thema: integralrechnung
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  1. Die Integralrechnung ist ein Teilgebiet der Analysis, das eng mit der Differentialrechnung verknüpft ist. Genauso, wie es bei der Differentialrechnung primär um die Bestimmung der Ableitung einer Funktion geht, beschäftigt sich die Integralrechnung mit der Bestimmung einer Stammfunktion und den Aussagen, die man daraus schließen kann.

    • 5 Min.
  2. Integralrechnung ist ein zentraler Unterrichtsgegenstand in der Sekundarstufe II und wird somit in allen Mathematik-Lehrbüchern behandelt. Lehrbücher für Studenten der Mathematik und benachbarter Fächer (Physik, Informatik): Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I, II, III.

    • Integralrechnung: Grundlagen und Summenregel. Im Folgenden zeigen wir euch, was es mit der Summenregel der Integralrechnung auf sich hat. Ziel ist es, die Fläche unter einer Funktion zu berechnen.
    • Elementare Integrationsregeln. Stammfunktion: Ihr kennt mit Sicherheit noch Funktionen. Da gab es zum Beispiel: f(x) = y = 2x oder f(x) = y = 2x3 + 3x. Und dann gab es die Ableitungen dazu, zum Beispiel f'(x) = y' = 2 oder f'(x) = y' = 6x2 + 3.
    • Integralrechnung mit Integrationsgrenzen. Zeichnet man eine Funktion, so ergibt das oftmals einen sehr "langen" Verlauf. Jetzt will man natürlich nicht die komplette Fläche unter einer Funktion erhalten, die ist oftmals unendlich.
    • Formelsammlung zur Integralrechnung. Hier findet ihr eine Tabelle / Formelsammlung um die Integralrechnung möglichst einfach durchzuführen. Druckt euch diese am Besten aus und seht beim Lösen von Aufgaben in die Tabelle.
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    • Stammfunktion bilden. Eine Funktion F ist eine Stammfunktion einer Funktion f, wenn für alle $x\\in\\mathbb{D}$ gilt: F'(x)=f(x). Die Umkehrung des Ableitens ist das Bilden von Stammfunktionen und wird deshalb auch umgangssprachlich Aufleiten genannt.
    • Bestimmtes Integral. Wenn Integrationsgrenzen angegeben sind, handelt es sich nicht mehr um ein unbestimmtes Integral. Man spricht dann von einem bestimmten Integral, da die Integrationsgrenzen ja angegeben – folglich bestimmt – sind.
    • Integration durch Substitution. Kommen wir zur Integration durch Substitution. Unter Substitution versteht man allgemein das Ersetzen eines Terms durch einen anderen.
    • Mittelwertsatz der Integralrechnung. Häufig ist eine Funktion gegeben, die den Wasserstand angibt oder die Geschwindigkeit des Wasserzuflusses! Wenn dann zum Beispiel nach der durchschnittlichen Höhe des Wasserstandes in einem bestimmten Zeitraum gefragt ist, bedient man sich oft am Mittelwertsatz der Integralrechnung
    • Integralrechnung Allgemein und vereinfacht
    • Die Stammfunktion – Elementare Gleichung eines Integrals
    • Bestimmtes Integral
    • Potenz- und Faktorregel
    • Die Partielle Integration in Der Mathematik
    • Substitution – Ersetzen Von Komplexen Termen
    • Flächen Über und Unter Der X-Achse berechnen
    • Fläche Zwischen Zwei Funktionsgraphen
    • Tabellarische Übersicht – Formelsammlung

    Um eine Fläche unter einer Kurve zu berechnen, nehmen Mathematiker unendlich viele kleine Rechtecke heran. Ihre Höhe entspricht der der y-Koordinate und die Breite ist möglichst klein bis gegen Null. Die Fläche jedes einzelnen Rechteckes zusammen ergibt die exakte Fläche des Integrals. Die Fläche eines Rechtecks errechnet sich aus der Höhe mal der Breite. Wählt der Nutzer die Breite merkbar groß, entsteht eine Ungenauigkeit, weil jedes Rechteck am Eck entweder über oder unter die Linie heraus- oder herunterragt. Alle Rechtecke zusammen ergeben eine bestimmte Fläche. Fehlt ein Stück, befindet sich das zweite Eck rechts unter der Linie, spricht die Mathematik von der Untersumme. Um die Obersumme zu erhalten, wählt der Schüler das jeweils rechte Eck eines Rechteckes auf der Linie des Graphen. Allerdings entsteht auf diese Weise eine größere Summe als die eigentliche Fläche groß ist. Ist an dieser Stelle die exakte Fläche verlangt, liegt die wirkliche Lösung zwischen der Ober- und Unter...

    Wer eine Fläche unter einer Funktion berechnen möchte, benötigt für diesen Schritt die Stammfunktion. Diese erhält der Mathematiker mithilfe der Integralrechnung. Allgemein ausgedrückt ist die Rechnung für das Integral nichts Anderes als die umgekehrte Differenzialrechnung. Die Stammfunktion bezeichnet die Aufleitung einer gegebenen Funktion. Leitet der Nutzer die Stammfunktion mit der Differenzialrechnung ab, erhält er wieder die Ausgangsfunktion. Als Beispiel ist die Funktion f(x) = 4x gegeben. Führt der Mathematiker das Integral durch, erhält er die Funktion: „C“ entspricht einer unbestimmten Konstante als Variable für alle verloren gegangenen Zahlen durch die Ableitung.

    Die allgemeine Stammfunktion besitzt keine Grenzen, die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse ist unbestimmt. Der Bereich der Fläche grenzt sich in erster Linie durch den Funktionsgraphen nach oben und durch die x-Achse nach unten ein. Frei und noch zu bestimmen sind die Abgrenzungen auf der x-Achse und wie breit die Fläche des Integrals tatsächlich ist. Diese Punkte auf der x-Achse benennt die Mathematik als untere und obere Integrationsgrenzen oder als Intervall bezeichnet. In diesem Schritt ist die Integralrechnung zweifach aufzulösen, einmal für den unteren und einmal für den oberen Wert. Die Differenz dieser Flächen ist die gesuchte Fläche des bestimmten Integrals.

    beschreibt eine Funktion mit einem Exponenten n. Diese Variable steht für eine beliebige rationale Zahl, was zur Erklärung der Potenzregel hilfreich ist. Integriert ein Mathematiker einen Term mit einem Exponenten, folgt daraus diese Regel: Zur Verdeutlichung ein kurzes Beispiel: Das Integral von: Die Faktorregel vereinfacht das Rechnen eines Integrales um einiges. Steht ein Faktor vor dem ist es erlaubt, das a herauszuheben und vor das Integralzeichen zu setzen. Der Faktor ist somit nicht Bestandteil der eigentlichen Integralrechnung. Weitere Rechenregeln des Integrals Eine weitere essenzielle Regel bei der Anwendung einer Integration ist die sogenannte Summenregel. Besteht eine Funktion f(x​ aus mehreren Summanden g(x) + h(x) + …​ ist es möglich, alle Gleichungen gesondert zu betrachten. Aus diesem Anlass ergibt sich, dass aus dem Integral die einzelnen Integrale entstehen. Nach demselben Prinzip funktioniert die Differenzregel. Der einzige Unterschied liegt darin, dass sich die b...

    Mit zunehmendem Theoriewissen, werden die Beispiele einer Integralrechnung komplexer. Für diesen Zweck um wieder Ordnung und Struktur einzubringen, entwickelten Mathematiker die partielle Integration. Sie kommt zur Anwendung, wenn bei einer Integralrechnung ein Produkt enthalten ist, welches ebenfalls von x abhängig ist. Um dieses Problem zu lösen, wählt der Anwender einen Term aus und bestimmt diesen zur Ableitung. Mit etwas Geschick entsteht dieser folgende Ausdruck: ​ Die partielle Integration erfolgt ab dieser Stelle wie folgt: Für mehr Beispiele und einen tieferen Einblick genügt ein Klick im Inhaltsverzeichnis.

    Die Substitutionsregel dient als Gegenelement der Kettenregel bei der Differentialrechnung. Die Regel an sich erscheint als schwer zu verstehen, allerdings ist der Umgang notwendig, um bei bestimmten Rechnungen schnell und einfach zur Lösung zu kommen. Meist ist eine Integration nach x​ gefragt, obwohl weitere Variablen oder Terme, wie schwierige Winkelfunktionen vorkommen. Anstelle diese aufzulösen und lang und breit auszurechnen, ist es möglich, die Variablen als Zahlen anzusehen. Um diese Regel anzuwenden, ist es notwendig, die Schritte anhand eines Beispiels zu erklären. Dieses ist unter dem Link „Substitution“ im Inhaltsverzeichnis zu finden.

    Verschiedene Aufgaben erfordern, dass die Fläche zwischen einem Graphen und der x-Achse zu berechnen sind. Was passiert, wenn die Kurve vom positiven in den negativen Bereich wechselt? In diesem Fall ist es notwendig, die bestimmte Integration am Nullpunkt zu unterteilen und zwei Integrationen durchzuführen. Weil Flächen nicht negativ sein können, ist es erforderlich den Betrag der negativen Lösung zu nehmen, wodurch der Wert für sich positiv wird. Anschließend addiert der Mathematiker beide Flächen und erhält eine positive Gesamtfläche im bestimmten Intervall.

    Ein weiterer Sonderfall ereignet sich, wenn die Fläche zwischen zwei Funktionen gefragt ist. In diesem Fall sind die Grenzen die Schnittpunkte beider Graphen. Die Fläche, die sich dazwischen erstreckt, gilt es zu berechnen. Für diesen Zweck ergibt sich folgende Formel:

    Der letzte Punkt des Inhaltsverzeichnisses ist eine tabellarische Übersicht. Sie dient als Vergleich zwischen der Differential- und Integralrechnung. Auf einem Blick findet der Nutzer wie sich der entsprechende Term in der Berechnung verhält. Diese kleine Formelsammlung vereinfacht das Anwenden und Erlernen des Integrals. Das Thema ist umfassend und benötigt einiges an Grundwissen. Es verwirklicht neben der Differentialgleichung das zweite größte Themengebiet der fundamentalen Mathematik. Mit den weiterführenden Links im Inhaltsverzeichnis, ist eine schnelle Lösung in den einzelnen Bereichen möglich, sodass das Lernen mit Erfolg gelingt.

  3. 23.04.2018 · Integralrechnung ¶. Integralrechnung. ¶. Um Flächen zu bestimmen, die von krummlinigen Funktionsgraphen und der -Achse eingeschlossen werden, entwickelte der Mathematiker Bernhard Riemann die Integralrechnung. Der Grundgedanke hinter den so genannten „Riemann-Summen“ ist, dass sich jede derartige Fläche in eine Vielzahl von schmalen ...

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